Сеть Петри задана графически (рис.23…30). В табл.1 в соответствии с вариантом и указанным номером рисунка приведены различные начальные маркировки сети.
Выполнить следующие действия:
Описать сеть аналитическим и матричным способами.
Проверить условия срабатывания каждого из переходов и найти новые маркировки, к которым приведет срабатывание соответствующих переходов, путем выполнения матричных преобразований.
Построить дерево достижимости заданной сети.
Проверить, является ли достижимой одна из маркировок, получаемых на четвертом шаге построения дерева, составив и решив матричные уравнения.
Таблица 1
| № варианта | |||||||||||||||
| m1 | |||||||||||||||
| m2 | |||||||||||||||
| m3 | |||||||||||||||
| m4 | |||||||||||||||
| m5 | |||||||||||||||
| № рисунка | Рис.23 | Рис.27 | Рис.28 | Рис.29 |
Решение:
Опишем сеть аналитическим и матричным способами. Приведем графическое представление сети Петри, в которой позиции P = {p1, p2, p3, p4, p5} и переходы T = {t1, t2, t3 , t4 }.
Начальная маркировка сети обозначается вектором μ0 [μ1,μ2,μ3,μ4,μ5], μ0 [1 3 0 1 2]. Отсюда получим:
При аналитическом способе задания сеть Петри задается как C = (P,T,F,H,μ0), где, кроме множеств позиций Р и переходов Т, задаются входная F и выходная Н функции.
Через F (tj) обозначается множество входных позиций, а через H (tj) - множество выходных позиций перехода tj; μ0 - начальная маркировка сети.
F (t1) = {p5},H (t1) = {p1, p2 },
F (t2) = {p1},H (t2) = {p3, p4},
F (t3) = {p3, p4}H (t3) = {p1 },
F (t4) = {p2, p3, p4}H (t4) = {p5 }.
μ0 [1 3 0 1 2]
Матричная форма определения сети Петри эквивалентна аналитическому способу задания C = (P,T,D-,D+,μ0). Здесь D- и D+ - матрицы входных и выходных инциденций соответственно размером m × n, где m - число переходов и n - число позиций.
Элемент dij- матрицы D- равен кратности дуг, входящих в i -й переход из j -й позиции.
Элемент dij+ матрицы D+ равен кратности дуг, выходящих из i -ro перехода в j -ю позицию.
Для рассматриваемой сети Петри
Матрица D = D+ - D - называется матрицей инцидентности сети Петри,
2. При начальной маркировке μ0 [1 3 0 1 2] сети Петри разрешенными являются переходы t1 и t2.
Условия срабатывания для перехода t3 и t4 не выполняется.
Переход t1
[μ0] ≥ [1000]* D- = [1000] · 
; [1 3 0 1 2] ≥ [00001] –
условие выполняется, переход разрешен.
Новая маркировка при срабатывании перехода t1 равна:
.
Переход t2
[μ0] ≥ [0100] * D- = [0100] 
·; [1 3 0 1 2] ≥ [10000] –
условие выполняется, переход разрешен.
Новая маркировка при срабатывании перехода t2 равна:
.
Переход t3
[μ0] ≥ [0010] * D- = [0010] 
·; [1 3 0 1 2] ≥ [00110] - условие не
выполняется, переход запрещен.
Переход t4
[μ0] ≥ [0001] * D- = [0001] 
·; [1 3 0 1 2] ≥ [01110] –
условие не выполняется, переход запрещен.
Построим дерево достижимости заданной сети.
Проверим, является ли достижимой одна из маркировок, полученных на пятом шаге построения дерева, составив и решив матричные уравнения.
Уравнение 
принимает вид
Перенесем 
в левую часть и выполним умножение, тогда
.
Приравняем составляющие векторов
Система имеет решение x1 = 1; x2 = 2; x3 = 0; x4 = 2.
Это значит, что исследуемая маркировка достижима и в последовательности срабатываний переход t1 срабатывает один раз, переходы t2 и t4 - по два раза, переход t3 не срабатывает.