Задача 4. Элементы математической логики и теории автоматов

 

Конечный автомат задан графом, определенным в задаче 1. Вершины графа отождествляются с состояниями автомата таким образом, что множество состояний Q = { q₁, q₂ , …, q_n }. Переход автомата из одного состояния в другое осуществляется под воздействием множества входных сигналов X= { x₁, x₂, x₃, x₄ }. Переходы определяются законом отображения Г вершин графа, причем каждому переходу соответствует только одна из букв множества X. При задании графа эти буквы расставить произвольно.

Автомат позволяет вырабатывать выходные сигналы Y= { y₁, y₂, y₃ }:

y₁ - переход из состояния q_i в состояние q_i (петля);

y₂ - переход из состояния q_i в q_j при i<j;

y₃ - переход из состояния q_i в q_j при i>j.

Осуществить структурный синтез конечного автомата. Реализацию осуществить на элементах, указанных в табл.1, в соответствии с номером варианта. Обязательной является минимизация реализуемых функций.

 

Таблица 1

№ варианта
Тип элементов	И НЕ	И ИЛИ НЕ	И НЕ	ИЛИ НЕ	И НЕ	И ИЛИ НЕ	И НЕ	ИЛИ НЕ	И ИЛИ НЕ	И НЕ
Тип триггера	D	JK	T	D	RS	RSD	D	JK	T	D

 

Решение:

Множество вершин X = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆},

Вершины графа отожествляются с состояниями автомата таким образом, что множество состояний Q = { q₁, q₂, q₃, q₄, q₅, q₆ }. Переход автомата из одного состояния в другое осуществляется под воздействием множества входных сигналов X= { x₁, x₂, x₃, x₄ }.

Автомат позволяет вырабатывать выходные сигналы Y= { y₁, y₂, y₃ }.

На основании аналитического описания ориентированного графа из задания № 1 запишем закон отображения состояний автомата:

 

Гq₁ = { q₁ (x₁/y₁), q₃ (x₂/y₂), q₂ (x₃/y₂)},

Гq₂ = { q₄ (x₃/y₂), q₁ (x₄/y₃), q₃ (x₁/y₂)},

Гq₃ = { q₁ (x₁/y₃), q₅ (x₂/y₂), q₂ (x₃/y₃), q₄ (x₄/y₂)},

Гq₄ = { q₂ (x₁/y₃), q₆ (x₂/y₂), q₃ (x₃/y₃), q₅ (x₄/y₂)},

Гq₅ = { q₃ (x₄/y₃), q₄ (x₁/y₃), q₆ (x₂/y₂)}, Гq₆ = { q₄ (x₃/y₃), q₅ (x₄/y₃)}.

 

Обобщенная таблица переходов и выходов соответствующего конечного автомата представлена в табл.2.

 

Таблица 2

X	Q	q1	q2	q3	q4	q5	q6
X1	q1/y1	q3/y2	q1/y3	q2/y3	q4/y3	─
X2	q3/y2	─	q5/y2	q6/y2	q6/y2	─
X3	q2/y2	q4/y2	q2/y3	q3/y3	─	q4/y3
X4	─	q1/y3	q4/y2	q5/y2	q3/y3	q5/y3

 

Осуществим структурный синтез автомата, заданного табл.1. В качестве элементов памяти используем D-триггеры, в качестве элементной базы используем логические элементы И-НЕ.

Количество букв входного алфавита n = 4

Количество входов p ≥ log₂ n = log₂ 4 = 2;

Количество букв выходного алфавита m = 2

Количество выходов e ≥ log₂ m = log₂ 3 = 2;

Количество состояний r = 6

Количество триггеров z ≥ log₂ r = log₂ 6 = 3.

Приступаем к кодированию:

 

x	u	u1	u2
x1
x2
x3
x4

 

	v1	v2
y1
y2
y3

 

q	w	w1	w2	w3
q1
q2
q3
q4
q5
q6

 

На основании результатов кодирования строим обобщенную таблицу переходов и выходов структурного автомата (табл.3), заменяя состояния, входные и выходные переменные их кодами.

 

Таблица 3

u1u2	w1w2w3
	001/10	000/01	001/00	010/00	100/00	─
	000/01	─	011/01	110/01	110/01	─
	010/01	100/01	010/00	000/00	─	100/00
	─	001/00	100/01	011/01	000/00	011/00

 

Используя таблицу переходов D-триггера и данные предыдущей таблицы, составим обобщенную таблицу функционирования структурного автомата (табл.4). Функции возбуждения трех триггеров обозначены через D₁, D₂, D₃, соответственно.

 

Таблица 4

u1

u2

w1 (t)

w2 (t)

w3 (t)

w1 (t+1)

w2 (t+1)

w3 (t+1)

v1

v2

D1

D2

D3

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

 

По этой таблице запишем СДНФ выходных функций V и функций возбуждения триггеров D₁, D₂, и D₃, зависящих от набора переменных u₁, u₂, w₁ (t), w₂ (t), w₃ (t). В результате получим систему логических функций для построения комбинационной части автомата:

 

.

.

.

.

.

 

Минимизируем функции согласно картам Карно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После минимизации имеем набор функций в базисе И-НЕ

 

=

.

.

.

 

Функциональная схема структурного автомата: