Упражнения и задачи по теории множеств
СИММЕТРИЧЕСКАЯ РАЗНОСТЬ
Пусть даны два множества 
и 
тогда их симметрической разностью называется множество 
, куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:
Базисный уровень (5 – 7 баллов)
1. Является ли множество всех атомов Солнечной системы бесконечным?
2. Составить список элементов множеств, заданных посредством характеристического признака:
а) Х ={ х | 
};
б) Х ={ х | 
};
в) Х ={ х | х ÎN, -4< х £3}.
3. Какая разница в записях А Î В и А 
В?
4. Равны ли множества {{1, 2}, 3} и {1, 2, 3}?
5. Верно ли, что {1, 2}Î{{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}?
6. Верно ли, что {1,2} {{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}?
7. Является ли множество {0} пустым?
8. Доказать, что существует только одно пустое множество.
9. Для каждых двух из следующих множеств указать, является ли одно из них подмножеством другого: А ={1}, В ={1, 2}, С ={1, 2, 3}, D ={{1}, 2, 3}, E ={3, 2, 1},
F ={{1, 2}, 3}.
10. Найти объединение, пересечение, разность и симметрическую разность множеств А и В, если
а) А ={1, 2, 3, 4, 5}, В ={2, 4, 6, 8, 10}; б) А ={а, б, в, г, д, е}, В ={а, в, д, к, и};
в) А ={а, в, д, ж, и, м, н, о}, В ={в, к, и, о, м, п, с, ф};
г) А ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, В ={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
11. Найти объединение, пересечение, разность множеств и симметрическую разность А и В, если
а) А ={ а ½ а Î(-7; 1]}, В ={ b ½ b Î[-3,4]}; б) А ={ а ½ а Î[-7; 1]}, В ={ b ½ b Î(-3,4)};
в) А ={ а ½ а Î[-7; 1)}, В ={ b ½ b Î[-3,4)}; г) А ={ а ½ а Î(-7; 1)}, В ={ b ½ b Î(-3,4)}.
12. Даны следующие числовые множества: А ={1,3,5,7,9,11}, B ={2,5,6,11,12}, C ={1,2,3,5,9,12}. Найти множества, которые будут получены в результате выполнения следующих операций:
а) (А È С)D В; б) (А Ç С)\ В; в) С \ B D А;
г) А Ç B Ç C; д) В \(А Ç С); е) (B D C)È A.
13. Даны следующие числовые множества: А ={1,3,5,7,9,11}, B ={2,5,6,11,12}, C ={1,2,3,5,9,12}. Найти множества, которые будут получены в результате выполнения следующих операций:
а) (А È С)\(В D А)\ С; б) (С È В D А)\(С Ç А); в) (А \ С)È(В D С);
г) (С \ В)È(А \ С); д) (В D С)È(А \ В) Ç (С \ А); е) (А Ç С) D (В È А)\ С.
Основной уровень (8 - 9 баллов)
1. Привести пример такого множества В, что для некоторого А одновременно А Î В и А В.
2. Может ли у множества быть:
а) 0 подмножеств;
б) 7 подмножеств;
в) 16 подмножеств.
3. Заштрихуйте ту часть диаграммы, которая соответствует следующему множеству:
а) (А È В)\ С; б) (А Ç В)È(С D В); в) (А D В) Ç (С \ В);
г) (С \ В)È(А \ С); д) (А \ С)È(В D С); е) (С D А)\(В Ç А).
4. Заштрихуйте ту часть диаграммы, которая соответствует следующему множеству:
а) (А È В) \ (С Ç В); б) (А \ В)Ç(С \ В); в) (С \ А) È (С \ В);
г) (С \ А) Ç (С \ В); д) (С \ В)È(А \ С); е) (А Ç С) D (В È А)\ С.
5. Старейший математик среди шахматистов и старейший шахматист среди математиков – это один и тот же человек или (возможно) разные?
6. Лучший математик среди шахматистов и лучший шахматист среди математиков – это один и тот же человек или (возможно) разные?
7. Каждый десятый математик – шахматист, а каждый пятый шахматист – математик. Кого больше – математиков или шахматистов – и во сколько раз?
8. Может ли множество двух отцов и двух детей состоять из трех человек? В каком случае?
Повышенный уровень (10 баллов)
1. Привести пример таких множеств А, В, и С, что А Î В, В Î С и А 
С.
2. Описать множества точек М плоскости таких, что:
а) { М | ОМ =5};
б) { М | ОМ £5};
в) { М | АМ=ВМ }.
3. Записать множество, изображенное с помощью кругов Эйлера на рисунке:
4. Следует ли из А \ В = С утверждение А = В È С.
5. Следует ли из А = В È С утверждение С=А \ В.
6. Существуют ли такие множества А, В и С, что А Ç В ¹Æ, А Ç С =Æ (А Ç В)\С=Æ.
7. Множество А состоит из натуральных четных чисел, множество В – из натуральных чисел, делящихся на 3. Из каких чисел состоит множество А Ç В?
8. Множество А состоит из натуральных четных чисел, множество В – из натуральных чисел, делящихся на 3, множество С – из натуральных чисел, делящихся на 9. Из каких чисел состоит множество А Ç В Ç С? Изобразите множества с помощью кругов Эйлера.
10. Множество А состоит из натуральных чисел, делящихся на 4, множество В – из натуральных чисел, делящихся на 6, множество С - из натуральных чисел, делящихся на 12. Из каких чисел состоит множество А Ç В Ç С? Изобразите множества с помощью кругов Эйлера.
13. Множество А состоит из натуральных чисел, делящихся на 4, множество В – из натуральных чисел, делящихся на 6, множество С - из натуральных чисел, делящихся на 15. Из каких чисел состоит множество D = А Ç В Ç С? Изобразите множества с помощью кругов Эйлера.
14. На окружности выбраны 1000 белых точек и одна черная. Чего больше – треугольников с вершинами в белых точках или четырехугольников, у которых одна вершина черная, а остальные три белые?
15. Каких подмножеств больше у 100-элементного множества: мощности 57 или мощности 43?
16. Из 15 спортсменов, занимающихся боксом или борьбой, 10 – боксеры. Сколько спортсменов занимаются обоими видами спорта, если борьбой занимается 8 из них?
17. Из 45 курсантов 25 юношей. 30 курсантов учатся на 4 и 5. 28 - занимаются спортом, из них 18 юношей и 17 хорошистов. 15 юношей учатся на 4 и 5 и занимаются спортом. Сколько юношей при этом могут быть хорошистами?
18. В двух группах учатся 50 курсантов. Для прибытия в институт 12 из них пользуются автобусом, 18 добираются пешком, 7 и идут, и едут в автобусе. Используя теорию множеств, найдите:
· Сколько человек или добираются пешком, или пользуются автобусом?
· Сколько человек пользуются только автобусом?
· Сколько человек пользуются другим транспортом?
19. На первом курсе в одной группе учатся 40 курсантов. Из них по теории государства и права имеют тройки 19 человек, по информатике и математике - 17 человек и по физкультуре – 22 человека. Только по одному предмету имеют тройки: по теории государства и права – 4 человека, по информатике и математике – 4 человека и по физкультуре – 11 человек. 7 человек имеют тройки и по информатике и математике, и по физкультуре, из них 5 имеют тройки и по теории государства и права. Сколько человек учится без троек? Сколько человек имеют тройки по двум из трех дисциплин?
20. Первая рота 1-го курса состоит из 70 курсантов. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 – поют в хоре, 22 – увлекаются спортом. В драмкружке 10 курсантов из хора, в хоре 6 – спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Найти:
· Сколько курсантов не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке?
· Сколько человек, занимающихся в драмкружке и в хоре, не занимаются спортом?
· Сколько спортсменов драмкружка не поют в хоре?
· Сколько поющих спортсменов, не посещающих драмкружок?
· Сколько спортсменов посещают хор или драмкружок?
· Сколько увлекаются только спортом?