Индивидуальные задания по контрольной работе.

Частное образовательное учреждение высшего образования

«Русско-Британский Институт Управления»

Отделение заочного обучения

Кафедра математики и информатики

Контрольная работа № 1

по курсу «Математика» для студентов заочного отделения

Вариант №_____

 

Выполнение и оформление контрольной работы.

1.1 Работа выполняется в любой тетради.

1.2 На обложке указывается фамилия, имя, отчество, номер группы и номер варианта.

1.3 Задачи должны быть решены в той последовательности, в какой они даны в задании (без изменения нумерации).

1.4 Не допускается замена задач своего варианта другими. Номер варианта задаётся преподавателем.

1.5 Решение задач должны сопровождаться пояснениями, всё входящие в формулы обозначения должны быть объяснены.

1.6 Работа должна быть сдана на проверку за 10 дней до начала сессии.

1.7 При наличии замечаний преподавателя работа возвращается на доработку.

1.8 Контрольная работа не проверяется, если она выполнена не по своему варианту.

1.9 Зачтенные контрольные работы возврату не подлежат.

2. Рекомендуемая литература.

2.1 Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для ВУЗов. Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2007.

2.2 Высшая математика для экономистов: Практикум. Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2007.

2.3 Карасёв А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических ВУЗов. Ч1. М.:Высшая школа, 1982.

Индивидуальные задания по контрольной работе.

Задача 1. Фирма выпускает продукцию трех видов (число видов продукции n=3) и использует сырьё двух типов (число сырья m=2). Норма расхода сырья i-го типа (i=1..m) на единицу продукции j-го вида(j=1..n) обозначается aij; Величины aij являются элементами матрицы А=А_m*n. План выпуска продукции задан матрицей-строкой Q=Q_1*n. Стоимость единицы каждого типа сырья задана матрицей-столбцом Р=Р_m*1(таблица 1).

Определите:

1. матрицу-столбец D=D_m*1 затрат сырья в натуральном выражении на плановый выпуск продукции;

2. матрицу-строку C=C _1*n стоимостей затрат сырья на единицу продукции;

3. матрицу- число G=G _1*1 стоимости сырья на план выпуска продукции- двумя способами: используя матрицу D (первый способ) и матрицу C (второй способ).

Указания к задаче 1:

1. выберите для своего варианта задания (№) те матрицы из таблицы 1, номера которых указаны в таблице 1.1;

2. расчеты выполните по формулам: D=AQ'; C=P'A; G₍₁₎=D'P(первый способ); G₍₂₎=QC'(второй способ);

3. убедитесь, что G₍₁₎= G₍₂₎.

Таблица 1-Нормы расхода (А) и цены (Р) сырья; план производства (Q).

Наименование показателя	Вариант матрицы
А - Нормы расхода сырья
Р - Цены единицы сырья
Q - План производства продукции	(100 200 300)	(200 300 400)	(300 500 100)

 

Таблица 1.1 – Варианты индивидуальных заданий (№) к таблице 1.

№

A

P

Q

 

Задача 2. Вычислите определитель матрицы четвертого порядка, выбрав для ее оформления четыре столбца, номера которых указаны в таблице 2.1 для номера Вашего индивидуального задания (№).

 

Таблица 2 – Матрицы-столбцы для формирования индивидуальной квадратной матрицы четвертого порядка.

№ матрицы-столбца
Элементы Матрицы-столбца	-2	-3	-1	-5 -2	-1	-1	-1 -4

 

Таблица 2.1 – Варианты индивидуальных заданий (№) к таблице 2.

№

столбцы

 

Указания к задачи 2:

1) воспользуйтесь теоремой Лапласа о разложении определителя по элементам произвольной строки или произвольного столбца;

2) определитель вычислите дважды, один раз используя разложение по строке, другой раз - по столбцу;

3) сравните полученные результаты.

Задача 3. Транспонируйте матрицу из задачи 2. Вычислите определитель транспонируемой матрицы и сравните его значение с результатом задачи 2.

Задача 4. Выбросите из матрицы задачи 2 любую строку, и вместо нее впишите повторно любую из оставшихся строк. Вычислите определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки.

Задача 5. Возведите в квадрат матрицу из задачи 2. Транспонируйте исходную матрицу из задачи 2 и возведите ее в квадрат. Сравните полученные результаты.

Задача 6. Вычислите определитель квадрата матрицы из задачи 5 и сравните с определителем исходной матрицы (задача 2).

Задача 7. Найдите матрицу, обратную исходной матрице А, сформированной из матриц-столбцов таблицы 3, указанных в таблице 3.1 для вашего индивидуального задания (№)

 

Таблица 3 – Матрицы-столбцы для формирования индивидуальной квадратной матрицы третьего порядка.

Номер матрицы-столбца
Элементы матрицы-столбца	-2	-5	-3	-6	-1	-4	-7

 

Таблица 3.1. – Варианты индивидуальных заданий (№) к таблице 3.

№

столбцы

 

Указания к задаче 7:

1) запишите исходную матрицу А;

2) решение задачи должно содержать следующие пункты:

1. вычисление определителя исходной матрицы ;

2. нахождение матрицы , транспонированной к исходной матрице А;

3. нахождение алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы ;

4. составление присоединенной матрицы ;

5. вычисление обратной матрицы А^-1;

3) проверьте правильность вычисления обратной матрицы по формулам А^-1А=АА^-1=Е;

4) вычислите определитель обратной матрицы |А^-1| и сравните его значение со значением определителя исходной матрицы |А|. Какой следует вывод?

5) произведите обращение обратной матрицы А^-1 в соответствии с пунктами 1 - 5 и убедитесь, что вновь получилась исходная матрица, т.е (А^-1)^-1=А.

 

Задача 8. Составьте систему трех уравнений с тремя неизвестными х_1, х₂, х₃ и решите ее тремя методами: 1)Гаусса; 2) Крамера; 3) в матричной форме.

Указания к задаче 8:

1) для составления системы трех уравнений с тремя неизвестными, которая в общем виде записывается как

а₁₁х₁+ а₁₂ х₂+ а₁₃ х₃=b_1;

а₂₁х₁+ а₂₂ х₂+ а₂₃ х₃=b_2; (1)

а₃₁х₁+ а₃₂ х₂+ а₃₃ х₃=b_3;

где А=[а_ij] – квадратная матрица системы;

В=[b_i] – матрица- столбец свободных членов;

Х=[х_j] – матрица- столбец переменных;

воспользуйтесь таблицей 4, в которой для Вашего индивидуального варианта заданы значения переменных, образующих решение будущей системы;

 

Таблица 4 – Значения решений системы трех уравнений с тремя неизвестными (х₁,х₂,х₃) для индивидуального варианта задания (№)

№
x1		-1				-1				-1				-1				-1
x2			-2				-2				-3
x3				-3				-4				-4				-5				-5

 

1) назначьте произвольные значения коэффициентов а_ij (желательно целые положительные и отрицательные и не повторяющиеся более двух раз) и вычислите величины свободных членов по формулам (1);

2) запишите исходную систему в виде уравнений (1) с конкретными значениями а_ij и b_i;

3) вычислите определитель матрицы системы и убедитесь, что он отличен от нуля. В противном случае измените один из коэффициентов системы, чтобы определитель стал отличным от нуля;

4) решите полученную систему тремя методами;

5) сравните полученные решения.