ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
Математическое моделирование
Направление/специальность: 23.05.03 Подвижной состав железных дорог
(код, наименование специальности /направления)
Профиль/специализация: «Вагоны» (ПВ)
Квалификация выпускника: инженер путей сообщения
Форма обучения: заочная
| Одобрено на заседании кафедры Высшая математика и естественные науки Протокол №__10___ «_02__»____06____________2016 г. Зав.кафедрой Шулиманова З.Л. |
Москва - 2016 г.
Приложение 1 Задание на контрольную работу
Контрольная работа.
«Математические модели в виде
обыкновенных дифференциальных уравнений»
Задание 1.1. Построить математическую модель механической системы, состоящей из пружины с жесткостью k, один конец которой жестко закреплен, а на другом находится тело массой m. Тело скользит по горизонтальному стержню: коэффициент вязкого сопротивления μ. Смещение тела из положения равновесия равно x 0.
Найти:
а) амплитуду, частоту и период свободных колебаний механической системы;
б) частоту и период затухающих колебаний системы;
в) уравнение огибающей кривой колебаний;
г) смещение, скорость и ускорение тела в момент времени t для затухающих колебаний.
Построить графики смещения свободных и затухающих колебаний системы в зависимости от времени.
1.1. k = 94 н/м, m = 0,6 кг, μ = 0,52, x0 = 0.10 м, t 1= 2,5 с;
1.2. k = 96 н/м, m = 0,7 кг, μ = 0,56, x0 = 0.12 м, t 1= 2 с;
1.3. k = 98 н/м, m = 0,8 кг, μ = 0,58, x0 = 0.14 м, t 1 = 3 с;
1.4. k = 100 н/м, m = 0,9 кг, μ = 0,6, x0 = 0.10 м, t 1 = 3,5 с;
1.5. k = 102 н/м, m = 1 кг, μ = 0,62, x0 = 0.11 м, t 1 = 4,5 с;
1.6. k = 104 н/м, m = 1,1 кг, μ = 0,64, x0 = 0.13 м, t 1 = 4 с;
1.7. k = 106 н/м, m = 1,2 кг, μ = 0,66, x0 = 0.09 м, t 1= 5 с;
1.8. k = 108 н/м, m = 1,3 кг, μ = 0,68, x0 = 0.15 м, t 1 = 3,5 с;
1.9. k = 110 н/м, m = 1,4 кг, μ = 0,7, x0 = 0.10 м, t 1 = 4 с;
1.10. k = 112 н/м, m = 1,6 кг, μ = 0,72, x0 = 0.14 м, t 1 = 5 с.
Задание 1.2. Подводная лодка водоизмещением V движется горизонтально со скоростью υ на глубине H от поверхности моря. Средняя плотность лодки ρ1. В момент t 0 = 0 лодка начинает всплытие. Сопротивлением воды пренебречь.
Определить:
а) время t 1, когда лодка всплывет на поверхность моря;
б) расстояние L, которое пройдет лодка в горизонтальном направлении в момент всплытия;
в) вертикальную скорость u лодки;
г) траекторию движения подводной лодки в координатах (l, h);
д) тип соответствующей кривой.
Плотность воды принять равной ρ0 = 10-3 кг/м3. Сделать чертеж.
2.1. V = 1150 т, υ = 15 км/ч, Н = 300м, ρ 1 = 0,5∙10-3 кг/м3;
2.2. V = 1280 т, υ = 20 км/ч, Н = 350 м, ρ 1 = 0,6∙10-3 кг/м3;
2.3. V = 1200 т, υ = 25 км/ч, Н = 250 м, ρ 1 = 0,8∙10-3 кг/м3;
2.4. V = 1360 т, υ = 18 км/ч, Н = 280 м, ρ 1 = 0,7∙10-3 кг/м3;
2.5. V = 1420 т, υ = 16 км/ч, Н = 320 м, ρ 1 = 0,65∙10-3 кг/м3;
2.6. V = 1170 т, υ = 22 км/ч, Н = 260 м, ρ 1 = 0,85∙10-3 кг/м3;
2.7. V = 1500 т, υ = 17 км/ч, Н = 310 м, ρ 1 = 0,55∙10-3 кг/м3;
2.8. V = 1800 т, υ = 24 км/ч, Н = 330 м, ρ 1 = 0,75∙10-3 кг/м3;
2.9. V = 1600 т, υ = 19 км/ч, Н = 340 м, ρ 1 = 0,6∙10-3 кг/м3;
2.10. V = 1700 т, υ = 25 км/ч, Н = 280 м, ρ 1 = 0,8∙10-3 кг/м3.
Вариационные принципы. Стохастические модели.
Задание 2.1. Пусть заданы координаты точек А и С. Точка В лежит на прямой y = 0. Используя вариационные принципы построения математических моделей, найти:
а) условие, при котором ломаная АВС имеет наименьшую длину;
б) числовое значение этого условия;
в) наименьшую длину ломаной АВС.
| 3.1. А (-5;10), С (25;15); 3.2. А (5;15), С (30;5); 3.3. А (0;5), С (25;10); 3.4. А (-10;15), С (20;10); 3.5. А (5;10), С (30;15); | 3.6. А (-5;5), С (15;15); 3.7. А (-10;5), С (20;15); 3.8. А (0;10), С (25;5); 3.9. А (5;5), С (30;10); 3.10. А (-5;15), С (25;10). |
Задание 2.2. Провести идентификацию эмпирической математической модели.
А) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 2-го порядка
W = a 0 + a 1 x + a 2 x 2, 0 £ x £ 10.
Б) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 3-го порядка
W = a 0 + a 1 x + a 2 x 2+ a 3 x 3 0 £ x £ 10.
Считаем, что величина х измеряется точно, а W – с ошибкой e, имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией М (e) = 0, s2(e) = 1. Проверить адекватность модели методом Фишера и сравнить модели А) и Б) графически с моделью линейной регрессии.
| № Вар.\ № точки | ||||||||||||
| ||||||||||||
| W | 22,52 | 34,5 | 27,2 | 38,5 | 50,8 | 61,8 | 60,7 | 71,9 | 72,2 | 83,9 | ||
| 29,7 | 33,4 | 44,5 | 53,3 | 60,4 | 73,8 | 87,8 | ||||||
| 28,9 | 31,5 | 50,3 | 42,1 | 63,4 | 58,8 | 79,3 | 74,1 | 93,6 | 92,6 | 108,6 | ||
| 28,3 | 22,6 | 38,2 | 50,9 | 72,4 | 74,9 | 86,3 | 79,9 | 101,8 | ||||
| 20,81 | 33,95 | 40,39 | 50,6 | 59,3 | 59,7 | 56,1 | 86,8 | 73,9 | 94,6 | |||
| 11,4 | 25,6 | 31,5 | 38,4 | 50,7 | 52,4 | 66,3 | 74,6 | 78,2 | 95,5 | |||
| 21,1 | 20,7 | 32,7 | 40,8 | 54,6 | 53,4 | 66,5 | 77,7 | 81,6 | 88,8 | 98,3 | ||
| 15,7 | 14,8 | 21,4 | 22,3 | 30,6 | 32,7 | 38,4 | 36,5 | 39,9 | 49,4 | 49,1 | ||
| 18,1 | 25,3 | 29,4 | 28,5 | 36,5 | 47,6 | 45,2 | 65,3 | |||||
| 12,9 | 32,25 | 42,8 | 69,6 | 68,2 | 89,7 | 105,6 |
Приложение 2 Задания на лабораторные работы
Лабораторные работы состоят из двух частей:
1. Построение математических моделей. Решение задач математического программирования с использованием математических пакетов.
2. Применения вычислительных методов в математическом моделировании.
В них входят:
- краткое ознакомление (изучение) математического пакета аналитических вычислений maxima (см. Приложения: «Коротко о Maxima.pdf»; выдаются на занятиях установочной сессии) – 2 уч. часа;
- компьютерное моделирование систем по темам контрольных работ: «Математические модели в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Вариационные принципы. Стохастические модели" – 6 уч. часов.
Примерная тематика приведена ниже. Числовые данные выдает преподаватель, ведущий занятия.
Тема № 1. «Математические модели в виде
обыкновенных дифференциальных уравнений»
(Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. См.Приложения: самарский, михайлов. математическое моделирование.djvu, МатМодМогилевич.pdf)
Задание 1.1. Построить математическую модель механической системы, состоящей из пружины с жесткостью k, один конец которой жестко закреплен, а на другом находится тело массой m. Тело скользит по горизонтальному стержню: коэффициент вязкого трения μ. Начальное смещение тела из положения равновесия равно x 0.
Найти:
1) амплитуду, частоту и период свободных колебаний механической системы;
2) частоту и период затухающих колебаний системы;
3) уравнение огибающей кривой колебаний;
4) смещение, скорость и ускорение тела в момент времени t для затухающих колебаний.
Построить графики смещения свободных и затухающих колебаний системы в зависимости от времени.
Задание 1.2. Подводная лодка водоизмещением V движется горизонтально со скоростью υ на глубине H от поверхности моря. Средняя плотность лодки ρ1. В момент t 0 = 0 лодка начинает всплытие. Сопротивлением воды пренебречь.
Определить:
1) время t 1, когда лодка всплывет на поверхность моря;
2) расстояние L, которое пройдет лодка в горизонтальном направлении в момент всплытия;
3) вертикальную скорость u лодки;
4) траекторию движения подводной лодки в координатах (l, h);
5) тип соответствующей кривой.
Плотность воды принять равной ρ0 = 10-3 кг/м3. Сделать чертеж.