РАЗДЕЛ 2. ЭЛЕМЕНТЫЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
«Линейная алгебра – один из важнейших разделов современной математики. Основные понятия этой математической дисциплины находят применение, как в различных теоретических исследованиях, так и для решения многих практических задач. В последнее время линейную алгебру стали широко применять в экономике, она является теоретической базой линейного программирования – одного из разделов математического программирования, который используется для решения целого ряда экономических задач».
Тема 2.1. Матрицы и определители
Лекция 1. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами
1.1. Понятие матрицы
Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел:
– элемент матрицы, где i – № строки, k - № столбца
Элементы – главная диагональ матрицы. Краткая запись матрицы: .
1.2. Виды матриц
· Квадратная матрица – матрица размера n x n.
· Треугольная матрица – квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю
· Нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны нулю.
· Транспонированная матрица - матрица AТ, строки которой – столбцы матрицы A (A → A Т),
· Диагональная матрица – матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали, равны нулю.
· Единичная матрица – матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1, а остальные равны нулю, (обозначается Е),
· Матрица A равна матрице B, если равны все их элементы: a i k = b i k для любого i = 1…m, для любого k = 1… n.
1.3. Операции над матрицами
- Сумма двух матриц одного размера: ;
- Умножение матрицы на число: ;
- Умножение матриц. Произведение двух матриц A и B существует, если количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы В. Тогда для матриц
A · B = D, D = (d i k) m n
Чаще всего, произведение A · B ≠ В · А или одно из них не существует.
Например, нахождение произведения для матриц 2-го порядка:
, ;
Свойства матриц одинакового размера
1) A + B = B + A 2) A + (B + C) = (A + B) + C 3) A + 0 = A
4) λ (μ A) = (λ μ) A 5) λ (A + B) = λ A + λ B 6) (λ + μ) A = λ A + μ A
1.4. Решение примеров
Пример 1. Даны матрицы: и . Найти:
;
· =
Пример 2. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М1, М2 и М3, причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М1 стоит 50 ден. ед., в магазин М2 - 70, а в М3 - 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.
Молокозавод | Магазин | ||
М1 | М2 | М3 | |
Решение. Пусть A – матрица, данная в условии, B – матрица, характеризующая стоимость доставки:
Тогда матрица затрат транспортных расходов:
Ответ: транспортные расходы: 1 завод – 4750 ден.ед., 2 завод – 3680 ден.ед
Разумеется, данные вычисления не требовали обязательного применения средств линейной алгебры. Пример приведен как образец применения методов линейной алгебры к решению экономических задач.
Лекция 2. Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей
Мы будем рассматривать только определители 2-го и 3-го порядков. Поэтому полное определение определителя (детерминанта) n-го порядка не дается. Допустимые обозначение определителя матрицы A: Δ(A) или det A или |A|. Мы будем использовать Δ(A) или просто Δ для сокращения записи.
2.1. Определители 2-го и 3-го порядков
1) Для матрицы второго порядка
Определение 1. Определителем 2-го порядка называется число
Пример:
2) Для матрицы третьего порядка A = введем новые понятия.
Определение 2. Минором элемента называется определитель , составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания из матрицы A i –той строки и k-того столбца.
Определение 3. Алгебраическим дополнением элемента называется число
Определение 4. Определителем 3-го порядка называется сумма произведений первой строки на их алгебраические дополнения.
Пример: вычислить определитель матрицы A =
1) Миноры: M11 = = 7 M12 = = 35 M13 = = -7
2) Алгебраические дополнения:
В дальнейшем будем считать сразу:
3) Определитель: ∆(A) = 3·7 + (-2)·(-35) + 4·(-7) = 21 + 70 – 28 = 63
2.2. Свойства определителей
Изложенные ниже свойства справедливы для любого n порядка. Свойства приводятся без доказательств.
- Определитель не меняется при транспонировании, т.е. ;
- Если две строки определителя поменять местами, то определитель меняет знак;
- Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю;
- Если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя;
- Если в определителе две строки (два столбца) пропорциональны, то определитель равен нулю;
- ;
- Определитель не поменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число;
- Сумма произведений элементов любой строки на свои алгебраические дополнения равна самому определителю. Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения другой строки равна нулю;
- Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали
2.3. Ранг матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу . Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А.
Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n.
Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим.
Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы.
Ранг матрицы А обозначается через r (A).
Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Очевидно, что выполняется соотношение
Например, для матрицы ранг матрицы равен 2 (количество строк).