Это слово получает, таким образом, определенный, весьма знаменательный смысл, который мы будем иметь в виду во всем последующем. Соответственно выбранным выше обозначениям души как области возможного и мира как области действительного я различаю возможную и действительную культуру, та есть культуру как идею -- всеобщего или единичного -- существования и культуру как тело этой идеи, как сумму ее выражения, сделавшегося чувственным, пространственным, доступным: дела и намерения, религию и государство, искусство и науки, народы и города, хозяйственные и общественные формы, язык, право, обычаи, характеры, черты лиц и манеры. Тесно связанная с жизнью, со становлением, история является осуществлением возможной культуры.
Необходимо добавить, что эти основоположные установления большей частью лежат за пределами возможности передачи посредством понятия, определения и доказательства, что они соответственно своему глубокому значению должны быть скорее пережиты, почувствованы, узнаны. Существует редко оцениваемое различие между переживанием и познанием как формами отношения между своим и чужим ("субъектом и объектом"). Оно становится более ясным в различении между непосредственной достоверностью, как она дается разными видами интуиции (озарение, вдохновение, художественное созерцание, "точная чувственная фантазия" Гете), и результатами разумного опыта и экспериментальной техники. Средством сообщения в первом случае является сравнение, картина, символ, во втором -- формула, уравнение, схема. Ставшее познается или, лучше сказать, бытие ставшего оказывается для человеческого духа тождественным выполненному акту познания. Становление может быть только; пережито, только почувствовано в глубоком безмолвном понимании. На этом зиждется то, что называется знанием людей. Понимать историю -- значит быть знатоком людей в высшем смысле слова. Чем более чиста картина истории, тем менее для нее подходящим является собственно земной взгляд; ему в этом случае нечего делать при помощи тех средств познания, которые исследует "Критика чистого разума". Механизм чистой картины природы, мира Ньютона и Канта, познается, понимается, расчленяется в законы и уравнения и, наконец, приводится к системе. Организм чистой картины истории, каким является мир Плотина, Данте и Бруно, наглядно представляется, внутренне переживается, постигается как образ и символ и, наконец, передается в стихотворной и художественной концепции. Гетевская "живая природа" есть истерическая картина мира.
Переживание и познавание суть акты сознания отдельных людей. Их результат, ставший уже частью прошедшего, воспоминание, знание называется переживанием или познанием. Что-нибудь понимать --исторически или естественнонаучно -- это значит уметь органически внести понимаемое в наличную сумму переживаний или познаний.
2.
Число, лежащее в основе всей математики как просто данный элемент, я избираю примером того способа, каким душа пытается осуществить себя в картине окружающего ее мира, насколько, следовательно, осуществленная культура является выражением и отображением идеи человеческого существования. Я избираю число еще и потому, что математика, мало кому доступная в своих глубинах, занимает особое место среди всех творений духа. Она--наука строгого стиля, как логика, но с большим охватом и значительно более богатым содержанием; она--настоящее искусство, рядом с пластикой и музыкой, если говорить о необходимости вдохновения и великих формальных условностей для ее развития; она, наконец,-- метафизика высшего ранга, как это доказывают Платон и особенно Лейбниц. Всякая философия до сих пор вырастала в связи с соответствующей математикой. Число есть ставшая образом идея причинной необходимости, подобно тому как представление о Боге, которое всякая культура вновь создает из своих величайших глубин, есть ставшая образом идея необходимости судьбы. В этом смысле существование чисел можно назвать мистической тайной, и религиозная мысль всех культур не свободна от этого отпечатка.
Всякое становление имеет изначальный признак направленности (необратимости), а все ставшее имеет признак протяженности, и именно так, что только искусственное разделение значения этих слов представляется возможным. Настоящая тайна всего ставшего и, следовательно (пространственно-материально), протяженного духовной стороной всякой культуры воплощается в типе математического (мертвого) числа в противоположность-- хронологическому. В его сущности уже лежит стремление к механическому полаганию границы. Число в этом отношении родственно слову, которое -- в качестве понятия, "поемля", "обозначая" -- точно так же разграничивает впечатления, получающиеся от мира. Наиболее глубокое здесь, во всяком случае, непостижимо и неизреченно. Действительное, ставшее вещью число, точно представленный, названный, написанный числовой знак (цифра, формула, знак, фигура) -- только это подлежит математическому рассмотрению, является для него, как всякое подуманное, сказанное, написанное слово, готовым оптическим символом, чувственным и сообщаемым, в котором отображается полагание границы. Изначало числа похоже на изначало мифа. Римлянин возвысил numina, неопределимые впечатления природы ("чуждое"), до божества, заклиная их именами, ограничивая их. Точно так же числа и слова суть оформленное, околдованное формой мироощущение. С ними дух ("собственное") достигает могущества. С ними он упорядочивает и расчленяет мир. Все настоящие акты познания -- не акты переживания,-- связанные как таковые с наличностью культурного языка, имеют ту же самую цель. Определение, суждение, закон, система -- результаты выполненного полагания границы; установка причинных соотношений, которыми исчерпывается сущность всех естественных наук, заключается, собственно, в точном ограничении двух впечатлений, называемых в отношении к числу -- причиной и действием, в отношении к слову -- основанием и следствием. На этом покоится внутреннее родство строения высокоразвитого языка (грамматика, синтаксис) с соответствующей математикой. Логика есть всегда род математики" и наоборот. Следовательно, во всех актах сознания, которые имеют отношение к математическому числу -- измерении, счете, обозначении, взвешивании, упорядочивании, делении,-- лежит общая тенденция к ограничению ставшего и протяженного, и только посредством едва еще познанных актов этого рода для бодрствующего человека действительно существуют объективные предметы, свойства, отношения, единичное единство и множество, короче, воспринятая как необходимая и непоколебимая структура той картины мира, которую он называет "природой" и как таковую познает. Природа есть счислимое. История есть совокупность того, что не имеет отношения к математике. Отсюда математическая достоверность законов природы, замечательный взгляд Галилея, что природа запечатляется "на языке математики", и выдвинутый Кантом факт, что точное естествознание простирается ровно настолько, насколько возможно применение математического метода.
В числе как знаке выполненного, экстенсивного ограничения заключена, следовательно, сущность всего действительного, являющегося вместе с тем ставшим, познанным, ограниченным; это с внутренней достоверностью постиг Пифагор необыкновенной, прямо-таки религиозной интуицией. Однако если под математикой понимать обладание врожденным, виртуальным миром чисел, то ее не следует смешивать с гораздо более узкой научной математикой, учением о числах. Одна есть творческое и необходимое свойство сознания, другая-- возможный род его духовного развития. Написанная математика, система мертвых положений, столь же мало, как и заключенная в теоретические работы философия, представляет полный состав математических и философских возможностей, которые таятся в глубине культуры. Существуют еще и совершенно иные пути сделать наглядным лежащее в основе числа изначальное чувство, подчинить оформляющему принципу ставшее и протяженное, будь то материя или пространство. В начале всякой культуры возникает архаический стиль, который можно было бы назвать геометрическим не только в раннеэллинском искусстве. Есть что-то общее, явно математическое, в дипилонском стиле древнегреческих погребальных урн, в стиле египетских храмов четвертой династии, с безусловным господством в нем прямой линии и прямого угла, в иератическом стиле древнехристианского рельефа саркофага и в романском орнаменте. Каждая линия, каждая фигура человека или животного, с ее совсем не подражательной тенденцией, раскрывает здесь мистический смысл числа в непосредственном отношении к тайне и культу смерти (окаменевшего).
Готический собор и дорический храм -- это окаменевшая математика. Пифагор научно верно понял античное число как принцип мирового порядка осязаемых вещей, как меру и величину. Именно тогда число нашло выражение и в прекрасном порядке телесно-чувственного единства, установленного строгим каноном эллинских статуй, и в дорическом, как и ионическом орденах колонн. Все великие искусства оказываются некоторым родом ограничения, богатого содержанием и устанавливаемого посредством числа. Вспомним проблему пространства в живописи. Высокая математическая одаренность даже без всякой науки может быть продуктивной и достигнуть своего полного осознания. Если мы учтем огромное значение, которое уже в древнем царстве, за 2800 лет до Р. X., имело число при делении пространства храмов в пирамидах, технике строений, орошения, управления, не говоря уже о египетском календаре,-- мы едва ли станем утверждать, что ничего не стоящая "счетная книга Яхмоса" эпохи Нового царства определяет уровень египетской математики. Австралийцы, духовное развитие которых еще находится на ступени первобытного человека, обладают математическим инстинктом, или, что то же самое, богатством числа, еще не оформленного словом и знаком, богатством, которое в отношении интерпретации чистой пространственности значительно превосходит греческое. Они изобрели в качестве оружия бумеранг; его действие позволяет заключать об инстинктивном умении обращаться с тем родом чисел, который мы предоставили бы высшему геометрическому анализу. Австралийцы обладают соответственно этому -- такая зависимость выяснится далее -- крайне сложным церемониалом и такой тонкой терминологией градаций родства, какая нигде больше не встречается, даже при высокой культуре. Соответственно этому греки в их наиболее зрелое время, при Перикле, не имели склонности, по аналогии с Эвклидовой геометрией, ни к церемониалу общественной жизни, ни к уединению, в полную противоположность барокко, которое рядом с анализом пространства видело возникновение дворца Короля-Солнца и государственной системы, покоящейся на династическом родстве.
Это стиль души, который находит свое выражение в мире чисел, но не в исключительно научном их понимании.
3.
Отсюда вытекает очень важное обстоятельство, которое до сих пор было скрыто от взоров самих математиков.
Числа в себе -- нет и не может быть. Есть много миров чисел, потому что есть много культур. Мы имеем индийский, арабский, античный, западноевропейский тип числа, каждый в основе своей -- нечто своеобразное и единственное, каждый -- выражение своеобразного мироощущения, каждый -- символ значимости, точно ограниченной наукой, принцип порядка ставшего, порядка, отображающего глубочайшую сущность одной-единственной души, той, которая является средоточием именно этой, а не какой-нибудь другой культуры. Существует, следовательно, более чем одна математика. Ибо, без сомнения, архитектоника Эвклидовой геометрии совершенно другая, чем архитектоника картезианской; анализ Архимеда совсем другой, чем анализ Iaycca, не только по языку формы, намерениям и средствам, но другой в своей глубине, в изначальном феномене числа, научное развитие которого он представляет. Это в духе и духом зачатое число, переживание границы, которое с внутренней необходимостью осмысленно и оформлено при помощи числа, следовательно, также вся природа, протяженный мир, картина которого возникла посредством этого спонтанного полагания границы и который всегда доступен трактовке только одного-единственного рода математики,-- все это говорит не о человечестве вообще, но всегда о каком-нибудь одном определенном человечестве.
Стиль возникающей математики обусловлен культурой, в которой она коренится, и людьми, размышляющими о ней. Ибо число опережает дух, а не наоборот. Числа -- творящие, а не сотворенные сущности. Дух может привести к научному развертыванию скрытых в них формальных возможностей, овладеть ими, посредством них достигнуть высшей зрелости; но видоизменить их он совершенно не в состоянии. В ранних формах орнамента и архитектуры, в дорической колонне и готике собора осуществлена уже идея Эвклидовой геометрии и счисления бесконечно малых за целые столетия до того, как родился первый математик этих культур.
Глубокое внутреннее переживание, настоящее пробуждение "Я", которое делает ребенка взрослым человеком, членом принадлежащей ему культуры, знаменует начало понимания числа и языка. Лишь с этих пор сознание имеет предметы как нечто во всяком отношении ограниченное и легко отличаемое от всего, что ни рассматривается; лишь с этих пор точно определяются свойства, понятия, причинная необходимость, система окружающего мира, форма мира, закон мира -- "положенное законом", по своей природе всегда ограниченное, застывшее, подчиненное числу,-- лишь в этот момент рождается внезапное чувство того, что знаменует собою число, будь оно в форме изобразительного искусства или математической науки. Ясно, что первобытному человеку и ребенку число еще недоступно и что решающая эпоха--историческая или биографическая--наступает, как только постигнутый в своем значении акт счета, измерения, обозначения, оформления позволит проявиться совершенно новому миру из вновь раскрывшейся внутренней жизни. Это переживание, с которым начинается великий стиль, рождает из первобытного человечества души культур, с их индивидуальным своеобразием.
И вот Кант разделил богатство человеческого знания на синтетическое a priori (необходимое и общезначимое) и a posteriori (возникающее из опыта) и математическое познание приурочил к первому. Этим он, несомненно, дал абстрактную форму выражения сильному внутреннему чувству. Но не говоря уже о том, что между этими двумя видами знания нет резкой границы (более чем достаточное количество примеров дают этому современная высшая математика и механика),-- а ее безусловно требует самый род принципа,-- a priori оказывается в высшей степени трудным понятием, но, несомненно, одной из самых гениальных концепций критики познания. Этим Кант устанавливает, не утруждая себя доказательством -- которое к тому же совершенно невозможно,-- неизменность форм всякой деятельности духа и их тождество для всех людей. Но Кантом совершенно упускается из виду то важное обстоятельство, что он в своих исследованиях исходил из духовного материала и интеллектуального облика только своего времени, между тем как степень этой "общезначимости" очень неопределенна. Рядом с несомненными факторами безусловно широкой значимости, которые хотя бы кажущимся образом независимы от того, к какой культуре, какому столетию принадлежит познающий,-- рядом с ними в основе всякого мышления лежит еще совершенно другая необходимость формы, и ей подчинен человек именно как член этой, а не какой-нибудь иной культуры. Это два совершенно различных вида априорного содержания; какова граница между ними и есть ли она вообще-- остается вопросом, на который нет ответа, потому что он лежит по ту сторону всякой познавательной возможности. Что постоянство духовных форм, считавшееся очевидным, является иллюзией, что в предлежащей нам истории есть несколько стилей познания -- этого до сих пор никто не осмеливался признать. Но следует вспомнить о том, что consensus omnium может доказывать не только всеобщую истину, но и всеобщее заблуждение. Смутное сомнение здесь, впрочем, всегда было, и уже из самого разногласия мыслителей следовало бы сделать верный вывод. Но что дело идет не о несовершенстве человеческого духа, не о "еще не" окончательного знания, не о недостатке, а о роковой исторической необходимости -- вот что является открытием. Наиболее глубокое и последнее не может быть открыто из неизменности, но только из различия, и только из органической периодичности этого различия. Сравнительная морфология форм познания является задачей, и разрешение ее еще предстоит западноевропейскому мышлению.
4.
Будь математика обыкновенной наукой, как астрономия или минералогия, то ее предмет можно было бы определить. Но этого нельзя сделать, и никто этого и не мог сделать. Мы, европейцы Запада, можем, конечно, насильно применить наше собственное научное понятие числа к тому, чем занимались математики в Афинах и Багдаде; но несомненно, что тема, намерение и метод одноименной науки были там совершенно иными. Нет одной математики, есть только разные математики. То, что мы называем историей математики, то есть мнимо непрерывное подтверждение единственного и неизменного идеала, оказывается на самом деле -- стоит только устранить обманчивую картину исторической поверхности -- множеством замкнутых в себе, независимых процессов, повторяющееся рождение новых, применение, преобразование и очищение чуждого мира форм, чисто органические, связанные с определенной длительностью расцвет, созревание, увядание и смерть. Не следует обманывать себя. Чуждый истории греческий дух создал свою математику из ничего; склонный к историчности дух Запада, овладев античной наукой -- внешне, не внутренне,-- должен был достигнуть своей собственной науки посредством кажущегося изменения и улучшения, фактически же -- посредством упразднения неадекватной ему Эвклидовой математики. Одна была создана Пифагором, другая -- Декартом. Оба акта тождественны в своей глубине.
Родство формального языка математики с современными ей великими искусствами не подлежит никакому сомнению. Целью всякой математики является законченная в себе система положений, которая представляет собою априорный синтетический порядок застывшей протяженности,-- тот же неустанно достигаемый синтез, который выступает и в проблеме формы каждого изобразительного искусства, и в борьбе каждого отдельного художника за техническое превосходство в своей области. Чувство формы скульптора, живописца, композитора -- существенно математично. В геометрическом анализе и проективной геометрии XVII столетия обнаруживается тот же порядок, который вызывает к жизни, охватывает и проникает современную инструментальную музыку стиля фуги посредством правил контрапункта -- этой геометрии звукового пространства -- и тесно связанную с музыкой живопись масляными красками посредством только Западу известной перспективы, осязаемой геометрии, данного в чувственном образе пространства. Этот порядок есть то, что Гете назвал идеей; образ ее непосредственно созерцается в чувственном, между тем как обыкновенная наука не созерцает, но только наблюдает и расчленяет. Но математика выходит за пределы наблюдения и расчленения. Она в свои высшие мгновения живет в интуиции, а не в абстракции. По глубокому изречению Гете, математик совершенен настолько, насколько он постигает красоту истинного. Здесь чувствуется, как близко тайна феномена числа стоит к тайне формы искусства, которое также находит свою цель в полном значения ограничении, в прекрасной соразмерности, в исчисленной величине, в строгом соотношении, гармонии--короче, в совершенном порядке чувственного. Прирожденный математик стоит рядом с великими мастерами резца и кисти; они также стремятся облечь в символы, осуществить, передать тот великий порядок всех вещей, который носит в себе обыкновенный человек их культуры, не обладая им в действительности. Царство чисел, таким образом, становится отображением мировой формы наряду с царством звуков, линий и красок. Слово "творческий" значит поэтому в математике больше, чем в обыкновенных науках. Ньютон, Гаусс, Риман -- натуры художественные. Вспомните, как великие концепции внезапно их озаряли. "Математик,-- говорит старик Вейерштрасс,-- в котором нет поэта, никогда не будет совершенным математиком".
Итак, математика есть искусство. Она имеет свои стили и периоды стилей. Она не является неизменной по своей субстанции, как полагает профан, а также и философ, поскольку он профан в этом вопросе, но, как и всякое искусство, она подчинена незаметным превращениям от эпохи к эпохе. Не следовало бы никогда изучать развитие великих искусств, не бросив взгляда на современную им математику: этот взгляд не остался бы бесплодным. Никто не исследовал особенности очень глубоких отношений между тенденциями музыкальной теории начиная с Орландо Лассо и фазами развития теории функций, хотя такое исследование могло бы научить эстетику большему, чем какая угодно "психология". Все действительно великие математики со времен Ферма, Паскаля и Декарта (1630) -- аналитики трансцендентного; все античные математики начиная с Пифагора (540) -- натуры мыслящие воззрительно-телесно. Должен ли я еще раз указать на тесное родство этих дарований с наступающим расцветом, с одной стороны, чистой инструментальной музыки, с другой -- ионическою скульптуры? Античная математика, вначале почти только планиметрическая, в своем развитии от Пифагора к Архимеду обнаруживает тенденцию к стереометрическому мышлению всего измеримого числом. Этому отвечает тенденция -- от живописи в плоскости аттико-коринфского стиля через возвышающийся наш плоскостью рельеф к скульптуре статуй. Статуя вози никла частью из фигурно-рельефно трактованной колонны (Гера Херамиса), частью из служившей для украшения стен деревянной или медной доски (Артемида Никандры). Как дерево, так и известняк обрабатывались ножом, но только работа резцом по мрамору вполне удовлетворяла художественному чувству творчества тела. Аналогичное происходит и на Западе: инструментальная музыка достигает новых способов выражения по мере того, как геометрия сохраняющая это название и дальше, преобразуется в анализ чистого пространства, из которого шаг за шагом устраняется непосредственно воззрительно, следует обратить внимание на то, как далеко отходит понятие координат Декарта от Ферма. С 1520 года изобретенная в Верхней Италии скрипка начинает вытеснять лютню. Фагот известен с 1525 года. В Германии в течение XVI и XVII столетий орган стал покоряющим пространство инструментом. У Монтеверди (1567--1643), который введением доминантсептаккорда дает основы подлинной хроматики, был первый настоящий оркестр, и в 1630 году в лице, Фрескобальди появляется первый великий виртуоз органа. И рядом с analysis situs, этим образцовым творением Лейбница, стоит могущественная символика пространства последних работ Рембрандта, умершего в 1669 году,-- автопортрета в Мюнхене, дармштадского Христа и евангелиста Матфея.
Воля к форме всякой математики отличается от чисто научных намерений всей физики и химии и сближает ее с изобразительными искусствами, несомненно, еще и тем, что ее элементы -- мертвые числа, рассматривать ли их воззрительно или трансцендентно, не являются эмпирической действительностью, а чистой формой протяженного, как линия орнамента или музыкальная гармония; ее деятельность, следовательно, говоря словами Канта, синтетична или, выражаясь языком искусств, есть композиция, в которой настоящий художник подлежит высшему принуждению -- кантовскому "a priori". Это менее проявляется я общеизвестных частях математики. Но числовые образования более высокого порядка, к которым восходит каждая из математик, причем путь каждой отличен от пути остальных (как, например, индийская десятичная система, античная группа конических сечений, первых чисел и правильных многогранников, на Западе числовая область), многомерные пространства, высокотрансцендентные образования теории трансформации и учения о множествах, группа неэвклидовых геометрий -- все эти образования уже не имеют чисто рассудочного происхождения; для проникновения в их последние, чисто метафизические основы они предполагают род вдохновенного просветления. Здесь дело идет о внутреннем переживании, не просто о познании. Только здесь начинается великая символика чисел. Эти формы, возникая в духе великих мастеров, как выражение последней тайны их мироощущения, открывают посвященному нечто вроде изначальной глубины его существования. Эти творения надо почувствовать как внутренность собора, как хоры ангелов в прологе "Фауста" или кантату Баха, что случается лишь в редкие счастливые минуты. Только тот, кому это доступно, а зрелых духом всегда будет немного, поймет Платона, назвавшего "числами" вечные идеи своего космоса,
5.
Около 540 года, когда в кругу пифагорейцев пришли к пониманию числа как сущности всех вещей, это не было "шагом вперед в развитии математики", но было рождением из глубин античного духа совершенно новой математики, осознавшей себя теорией после того, как долгое время она уже проявлялась в метафизических проблемах и художественных формах. Греческая математика есть такая же новая математика, как и никогда не написанная математика Египта или алгебро-астрономическая математика вавилонской культуры, с ее эклиптическими координатными системами; обе они были порождены в великие часы истории и к тому времени давно уже уследи угаснуть. Одряхлевшая ко времени Рима античная математика исчезла из живого становления, несмотря на свое длящееся и поныне прозрачное существование в нашем способе обозначения; много позднее и в отдаленной стране она дала место арабской математике; за последней, давно умершей, следует после долгого промежутка, опять как совершенно новое творение новой почвы, наша западная математика; в удивительном ослеплении мы принимаем ее за всю математику, за вершину и цель двухтысячелетнего развития, но и для нее также строго отграничены столетия, ныне почти уже истекшие.
Изречение, что число представляет сущность всех чувственно-достигаемых вещей, остается самым ценным в античной математике. Оно определяет число как меру. В нем дано все мироощущение души, жадно обращенной к здесь и теперь. Мерить в этом смысле -- значит мерить нечто близкое и телесное. Представим себе высшее достижение античного искусства -- свободно стоящую статую нагого человека; здесь дано все важное и значительное греческого бытия, весь его этос, исчерпанный плоскостью, мерой и чувственными соотношениями частей. Пифагорейское понятие гармонии чисел, выведенное, может быть, из монофонной музыки, как будто нарочно создано для идеала этой пластики. Обработанный камень есть нечто, поскольку он имеет правильные границы и измеренную форму, поскольку он есть то, чем стал под резцом художника. Без этого он -- хаос, нечто неосуществленное, то есть пока -- ничто. Это чувство, распространенное на вселенную, создает в противоположность хаосу -- космос, внешний мир античной души, гармонический порядок всех правильно оформленных и осязательно наличных отдельных вещей. Совокупность этих вещей и есть весь мир. Место же между ними, наше мировое пространство, наполненное всем пафосом великого символа, есть ничто, "to me on". Протяженность для античного человека означает телесность, для нас она имеет значение пространства, функцией которого "являются" вещи. Бросив отсюда взгляд назад, мы, может быть, разгадаем глубочайшее понятие античной метафизики, "апейрон" Анаксимандра, передать которое не в состоянии ни один язык Запада. Это то, что не имеет ни "числа" в пифагорейском смысле, ни определенной величины и границы, ни, следовательно, существа; безмерность, бесформенность, статуя, которая еще не высечена из глыбы. Это есть "архе", воззрительно безграничное и бесформенное, оно только посредством границы становится чувственной обособленностью, чем-то, то есть миром. Это--то, что лежит в основе античного познания, как априорная форма, как телесность в себе и точным соответствием чего в кантовской картине мира является абсолютное пространство, из которого Кант напрасно пытался "отмыслить все вещи".
Теперь становится ясным, что отличает одну математику от другой; особенно -- античную от западноевропейской. Зрелая античная мысль по самому своему мироощущению могла видеть в математике только учение о соотношениях величины, меры и строения осязательных тел. Если, исходя из этого чувства, Пифагор высказывал определенные формулы, то ведь для него число было оптическим символом, не формой вообще или абстрактным отношением, но знаком границы ставшего, поскольку оно проявляется в чувственно обозримых единичностях. Весь без исключения античный мир понимал числа как единицы меры, как величины, отрезки, плоскости. Другой вид протяженности для него непредставим. Вся античная математика в последней основе стереометрия. Если Эвклид, закончивший в III веке ее систему, говорит о треугольнике,-- он с внутренней необходимостью имеет в виду плоскость, ограничивающую тело, но ни в каком случае не систему трех пересекающихся прямых или группу трех точек в пространстве трех измерений. Он определяет линию как "длину без ширины" (meco aplates). В наше время такое определение казалось бы жалким. Но в пределах античной математики -- оно превосходно.