Несобственные интегралы от разрывных функций

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ 6.3

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Баранова Е.С.

Санкт-Петербург

Несобственные интегралы

В определении интеграла предполагалось, что: 1) промежуток интегрирования конечен; 2) функция ограничена на отрезке . Если нарушается хотя бы одно из условий 1) или 2), то интеграл называется несобственным.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Если функция непрерывна на промежутке , то предел называется несобственным интегралом первого рода и обозначается

Если предел в правой части равенства существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если же предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Если – первообразная для подынтегральной функции , то

где .

замечание

Если функция и непрерывна на промежутке и интеграл сходится, то этот несобственный интеграл равен площади криволинейной трапеции, которая бесконечно простирается влево вдоль оси Ох (рис. 17).

Рис. 17.

Аналогичным образом определяется интеграл на промежутке :

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования разбивается на сумму двух интегралов:

где – произвольное число, причем интеграл в левой части равенства сходится при условии, что оба интеграла в правой части сходятся.

Пример 1. Вычислить интеграл , где – некоторое число.

Решение.

1) Если , то

2) Если , то

Таким образом, интеграл

Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода

Теорема 1 (признак сравнения). Если для всех непрерывные функции и удовлетворяют неравенству и

1) если интеграл сходится, то интеграл тоже сходится, причем

2) если же интеграл расходится, то интеграл тоже расходится.

Пример 2. Исследовать сходится ли интеграл ?

Решение. Так как при выполняется неравенство и сходится (; см. пример 1), то данный интеграл сходится.

Теорема 2. Если интеграл сходится, то сходится и интеграл . В этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся.

Пример 3. Исследовать сходимость интеграла .

Решение. Так как и интеграл сходится, то данный интеграл сходится абсолютно.

Теорема 3 (предельный признак сравнения). Если для всех функции и , причем , то интегралы и одновременно оба сходятся или одновременно оба расходятся (т.е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).

Пример 4. Исследовать сходимость интеграла .

Решение. Интеграл сходится, так как

1) ;

2) интеграл – сходится.

Пример 5. Исследовать сходимость интеграла .

Решение. Интеграл расходится, так как

1) ;

2) интеграл – расходится.

Несобственные интегралы от разрывных функций

Если функция непрерывна при и имеет бесконечный разрыв в точке , то предел называется несобственным интегралом второго рода и обозначается

Если предел в правой части существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если же предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Замечание.

Если функция и имеет бесконечный разрыв в точке и интеграл сходится, то этот несобственный интеграл равен площади криволинейной трапеции, которая бесконечно простирается вверх вдоль прямой (рис. 18).