РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ТЕМЕ 6.3
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Баранова Е.С.
Санкт-Петербург
Несобственные интегралы
В определении интеграла 
предполагалось, что: 1) промежуток интегрирования 
конечен; 2) функция 
ограничена на отрезке . Если нарушается хотя бы одно из условий 1) или 2), то интеграл называется несобственным.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
Если функция непрерывна на промежутке 
, то предел 
называется несобственным интегралом первого рода и обозначается
.
Если предел в правой части равенства существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если же предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Если 
– первообразная для подынтегральной функции , то
,
где 
.
замечание
Если функция 
и непрерывна на промежутке и интеграл 
сходится, то этот несобственный интеграл равен площади криволинейной трапеции, которая бесконечно простирается влево вдоль оси Ох (рис. 17).
Рис. 17.
Аналогичным образом определяется интеграл на промежутке 
:
.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования разбивается на сумму двух интегралов:
,
где 
– произвольное число, причем интеграл в левой части равенства сходится при условии, что оба интеграла в правой части сходятся.
Пример 1. Вычислить интеграл 
, где 
– некоторое число.
Решение.
1) Если 
, то 
.
2) Если 
, то 
Таким образом, интеграл 
Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода
Теорема 1 (признак сравнения). Если для всех 
непрерывные функции и 
удовлетворяют неравенству 
и
1) если интеграл 
сходится, то интеграл тоже сходится, причем 
2) если же интеграл расходится, то интеграл 
тоже расходится.
Пример 2. Исследовать сходится ли интеграл 
?
Решение. Так как при 
выполняется неравенство 
и 
сходится (
; см. пример 1), то данный интеграл сходится.
Теорема 2. Если интеграл 
сходится, то сходится и интеграл 
. В этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся.
Пример 3. Исследовать сходимость интеграла 
.
Решение. Так как 
и интеграл 
сходится, то данный интеграл сходится абсолютно.
Теорема 3 (предельный признак сравнения). Если для всех 
функции 
и 
, причем 
, то интегралы и одновременно оба сходятся или одновременно оба расходятся (т.е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).
Пример 4. Исследовать сходимость интеграла 
.
Решение. Интеграл 
сходится, так как
1) 
;
2) интеграл 
– сходится.
Пример 5. Исследовать сходимость интеграла 
.
Решение. Интеграл 
расходится, так как
1) 
;
2) интеграл 
– расходится.
Несобственные интегралы от разрывных функций
Если функция непрерывна при 
и имеет бесконечный разрыв в точке 
, то предел 
называется несобственным интегралом второго рода и обозначается
.
Если предел в правой части существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если же предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Замечание.
Если функция 
и имеет бесконечный разрыв в точке и интеграл 
сходится, то этот несобственный интеграл равен площади криволинейной трапеции, которая бесконечно простирается вверх вдоль прямой 
(рис. 18).
Рис. 18.
Аналогично определяются интегралы:
1) Если функция непрерывна при 
и терпит разрыв в точке с, то
.
2) Если функция непрерывна при 
и терпит бесконечный разрыв в точке 
, то
.
В этом случае интеграл слева называется сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.
Пример 6. Вычислить интеграл 
, где 
– некоторое число.
Решение.
1) Если 
, то
2) Если 
, то 
.
Таким образом, интеграл 