Тригонометрические функции

Рабочая тетрадь по теме

Функция

(повторение основных сведений из школьного курса)

Для самостоятельной работы студентов

 

 

Студента(ки) ________________________

гр.____, направление ___________________

 

 

Рязань _________ г.

Понятие функции

«Интуитивное» определение функции.

Функция — это закон или правило, согласно которому каждому элементу x из множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.

 

На плоскости хОу прямоугольной системы координат закон соответствия элементов множества X элементам множества Y можно представить в виде рисунка:

 

 

Для обозначения закона соответствия (функции) чаще всего используют символ f. Тогда выражение «по закону f элементу x из множества X соответствует элемент y из множества Y » аналитически записывается, как

 

Здесь:

х – аргумент (независимая переменная);

у – функция (зависимая переменная).

Дайте следующие определения

 

Значением аргумента называется ____________________________________________________

 

Значением функции называется _____________________________________________________

____________________________________________________________________________

 

Областью определения функции называется ___________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Областью значений функции называется ______________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Способы задания функции

 

Задать функцию – это значит________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Наиболее часто используют три способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

На примере функции пояснить способы её задания.

 

1) Аналитический способ задания функции - это_______________________________________

 

Для заданного примера: _____________________________________

 

2) Табличный способ задания функции - это_________________________________________

 

Для заданного примера:

 

 

3) Графический способ задания функции - это________________________________________

 

Для заданного примера:

Дайте следующие определения.

Графиком функции называется __________________________

____________________________________________________________________________________________________

 

Уравнением графика функции называется __________________

__________________________________________________

 

Задание. Укажите на графике и запишите аналитически область определения и область значений заданной функции.

 

__________________________________________________

 

 

Некоторые типы функций

Дайте следующие определения.

 

Функция называется чётной, если __________________________________________

 

 

Функция называется нечётной, если ________________________________________

 

 

Функция называется периодической, если _____________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

Функция называется обратной, если ________________________________________

Тригонометрические функции

1. Функции синуса и косинуса.

Нарисуем окружность единичного радиуса и впишем в неё прямоугольный треугольник АОВ, как показано на рисунке. Как известно, синусом острого угла φ (обозначается ) прямоугольного треугольника АОВ называется отношение _________________________________________________

_________________________________________________________

В окружности единичного радиуса значению будет соответствовать длина отрезка _______ (показать его на рисунке, выделив цветом)

Если рассматривать угол как переменную, мы получим функцию синуса или просто синус: . График функции называют синусоидой.

Построим синусоиду в прямоугольной системе координат на отрезке [0;2 π ]. Для этого нарисуем рядом две координатные плоскости и так, чтобы оси абсцисс обоих координатных плоскостей были на одной линии. Слева, в прямоугольной системе координат , нарисуем единичную окружность с центром в О. Точками разобьем эту окружность на девять дуг равной длины. К каждой точке из центра окружности проведём радиус и построим синусы полученных углов . Отметим на оси абсцисс второго рисунка все значения угла и для этих значений отложим вертикальные отрезки, соответствующие изображению синусов на левом рисунке. Чем больше будем брать углов на левом рисунке, тем точнее построим график синуса на правом.

Обратите внимание: для угла х = 0 радиус окружности лежит на оси t и длина отрезка, соответствующая синусу, равна нулю. Аналогично и для угла .

Аналогичным образом определяем косинус угла φ, функцию косинуса и косинусоиду.

Косинусом острого угла φ (обозначается ) прямоугольного треугольника АОВ называется отношение ____________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Если рассматривать угол как переменную, мы получим функцию косинуса или просто косинус: . График функции называют косинусоидой.

 

В окружности единичного радиуса значению косинуса будет соответствовать длина отрезка ___________ (показать его на рисунке, выделив цветом).

 

Задание. Построить косинусоиду, используя длины [ OB ], получаемые при вращении радиуса [ OA ] против часовой стрелки. Для удобства построения график можно направить вертикально вниз, а затем скопировать полученный результат:

 

Таблица основных значений синуса и косинуса (заполнить):

 

x (рад)

Свойства синуса и косинуса.

 

	Свойства	Свойства
Область определения
Область значений
Чётность/нечётность
Периодическая с периодом

 

2. Функции тангенса и котангенса.

Вернёмся к треугольнику АОВ вписанному в окружность единичного радиуса. Тангенсом острого угла φ (обозначается ) прямоугольного треугольника АОВ называется отношение_______________________

_____________________________________________________

.

(записать тангенс через отношения катетов и тригонометрических функций)

 

Котангенсом угла φ (обозначается ) называется отношение ____________________________________________________

____________________________________________________

Если рассматривать угол как переменную, мы получим функцию тангенса или просто тангенс: . Аналогично получим функцию котангенса или просто котангенс: . График функции получаем, как было описано выше, откладывая на плоскости длины отрезков CD.

График функции . График функции (самостоятельно)

Таблица основных значений тангенса и котангенса (заполнить):

x (рад)

 

Свойства тангенса и котангенса.

	Свойства	Свойства
Область определения
Область значений
Чётность/нечётность
Периодическая с периодом

 

3. Функции секанса и косеканса.

Функцией секанса (обозначается ) называется ___________________________________

____________________________________________________________________________

Функцией косеканса (обозначается ) называется _______________________________

____________________________________________________________________________

4. Обратные тригонометрические функции.

 

Графики обратных тригонометрических функций симметричны исходным функциям относительно прямой . Нарисуем графики этих функций, а затем воспользуемся рисунками, как подсказками, и дадим определение обратным тригонометрическим функциям.

1. Функция арксинуса .

Нарисуем график этой функции, отобразив синусоиду через прямую .

 

Мы нарисовали кривую, симметричную синусоиде. Функция арксинуса .

Теперь, используя определение функции, выделим

на этой кривой функцию арксинуса (то есть, найдём

такой участок полученной кривой, на котором любому

значению х соответсвует только одно значение у).

(показать этот участок цветом).

 

Теперь, глядя на правый рисунок, дадим определение арксинусу.

 

Арксинусом числа х (обозначается ) называется такое значение угла y, для которого при и .

 

2. Функция арккосинуса (самостоятельно)

 

Арккосинусом числа х (обозначается ) ________________________________________

 

____________________________________________________________________________

 

3. Функция арктангенса .

 

Арктангенсом числа х (обозначается ) называется такое значение угла y, для которого при .

 

Примечание. Несмотря на то, что тангенс – периодическая функция, при построении графика арктангенса нам нужна была только одна кривая тангенса, остальные дали бы семейство кривых, не удовлетворяющее определению функции.

4. Функция арккотангенса (самостоятельно)

 

Арккотангенсом числа х (обозначается ) ________________________________________________________________________________________________________________________