Числовые характеристики дискретной случайной величины.
Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики.
Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина 
принимает значения 
с вероятностями 
соответственно. Тогда математическое ожидание 
данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:
или в свёрнутом виде:
Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:
очка.
В чём состоит вероятностный смысл полученного результата? Если подбросить кубик достаточно много раз, то среднее значение выпавших очков будет близко к 3,5 – и чем больше провести испытаний, тем ближе.
Теперь вспомним нашу гипотетическую игру (см. предыдущую тему):
Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру?
Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:
, таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно.
Не верь впечатлениям – верь цифрам!
Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение.
Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.
2. Дисперсия дискретной случайной величины.
Дисперсией случайной величины (СВ) называется математическое ожидание квадрата отклонения значений X от ее среднего значения.
Другое определение, дисперсия СВ — это мера разброса значений случайной величины X вокруг её математического ожидания.
Обозначение: D[X], D(X), DX
Если случайная величина описывает физические объекты с некоторой размерностью (метры, секунды, килограммы и т.п.), то дисперсия будет выражаться в квадратных единицах (метры в квадрате, секунды в квадрате и т.п.). Ясно, что это не совсем удобно для анализа, поэтому часто вычисляют также корень из дисперсии - среднеквадратическое отклонение σ(X)= 
, которое имеет ту же размерность, что и исходная величина и также описывает разброс.
Еще одно формальное определение дисперсии звучит так: "Дисперсия - это второй центральный момент случайной величины" (напомним, что первый начальный момент - это как раз математическое ожидание).
Формула дисперсии для дискретной случайной величины X: D(X)=M(X2)-M2(X)
где M(X) – математическое ожидание, Х — дискретная случайная величина
Эта универсальная формула для дисперсии может быть расписана более подробно для двух случаев.
Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти дисперсию по формулам, введеным выше.
Пример. Вычислить и сравнить дисперсию двух законов распределения:
| xi | ||
| pi | 0,5 | 0,5 |
и
| yi | -10 | |
| pi | 0,5 | 0,5 |
Для убедительности и наглядности расчетов мы взяли простые распределения с двумя значениями и одинаковыми вероятностями. Но в первом случае значения случайной величины расположены рядом (1 и 2), а во втором - дальше друг от друга (-10 и 10). А теперь посмотрим, насколько различаются дисперсии:
Итак, значения случайных величин различались на 1 и 20 единиц, тогда как дисперсия показывает меру разброса в 0.25 и 100. Если перейти к среднеквадратическому отклонению, получим σ(X)=0.5, σ(Y)=10, то есть вполне ожидаемые величины: в первом случае значения отстоят в обе стороны на 0.5 от среднего 1.5, а во втором - на 10 единиц от среднего 0.