(15/12 вопросов за 60 минут)
1. Перечислите этапы решения инженерной задачи с использованием ЭВМ
2. Что такое «математическая модель объекта». Приведите пример модели.
3. Что такое «вычислительная задача». Приведите пример вычислительной задачи.
4. Перечислите особенности численных методов, отличающих их от аналитических.
5. Дайте определение понятия «значащие цифры» и «верные цифры»
6. Дайте определение понятий «погрешность модели» и «погрешность исходных данных». Почему они называются неустранимыми?
7. Каково желательное соотношение между величинами различных погрешностей решения прикладных задач с применением ЭВМ?
8. Определение понятий «погрешность метода» и «вычислительная погрешность».
9. Что такое погрешность приближённого числа? Что такое абсолютная и относительная погрешность?
10. Напишите формулы оценок абсолютной и относительной погрешности алгебраической суммы двух чисел.
11. Как происходит округление по дополнению?
12. Что такое «машинное ипсилон»?
13. Почему операция сравнения двух вещественных чисел по их совпадению считается некорректной?
14. Радиус шара R = 1, его приближенное значение R* задано с погрешностью D = ±0.1. Какова абсолютная погрешность объема шара, если V = (4/3)pR3?
15. Радиус шара R = 1, его приближенное значение R* задано с погрешностью D = ±0.1. Какова абсолютная погрешности площади сферы, если S = 4pR2?
16. Какая вычислительная задача называется корректной, а какая – некорректной?
17. Когда решение вычислительной задачи называется устойчивым по входным данным? Приведите пример задачи с неустойчивым решением.
18. Какой вычислительный алгоритм называется корректным, а какой – некорректным?
19. Что такое обусловленность задачи? Дайте определение понятия «Хорошо обусловленная вычислительная задача»
20. Что такое абсолютное и относительное число обусловленности?
21. Чему равно число обусловленности задачи аналитического вычисления определенного интеграла?
22. Какой алгоритм называется вычислительно устойчивым, а какой – неустойчивым?
23. Что такое устойчивость алгоритма по входным данным?
24. Пусть величина уn для n = 1, 2,… вычисляется по рекуррентной формуле yn = anyn–1 + bn, а значение у0 задано. При каком условии этот алгоритм устойчив по входным данным?
25. Что делать, если надо решить неустойчивую или плохо обусловленную задачу? А если предлагаемый алгоритм неустойчив?
26. Сформулируйте суть метода эквивалентных преобразований.
27. Что такое критерий окончания итерационного процесса? Назовите эти критерии.
28. Сформулируйте суть итерационного метода. Что означает фраза «итерационный метод сходится»?
29. Сформулируйте суть метода аппроксимации. Что такое погрешность аппроксимации? Приведите пример погрешности аппроксимации.
30. Сформулируйте суть метода аппроксимации. Что означает фраза «метод аппроксимации сходится»?
31. Что такое прямой метод решения задачи? Запишите в явном виде схему Горнера для многочлена
.
32. Дано: 
. Вычислить det (A) разложением по 1-й строке.
33. Дано: 
. Вычислить det (A) разложением по 3-му столбцу.
34. Дайте определение понятия «линейная комбинация векторов». Образуйте любую линейную комбинацию из векторов
; 
; 
.
35. Какие векторы называются линейно зависимыми, а какие – линейно независимыми? Являются ли линейно зависимыми следующие три вектора
; 
; 
.
36. Что такое «ранг матрицы»? Чему равны ранги следующих матриц 
? Ответ объяснить.
37. Какая из следующих матриц является обратной к матрице C = 
:
|
|
|
|
38. Дано: 
; 
. Вычислить B АT A.
39. Дано: ; . Вычислить (AАT)2.
40. Дано: ; . Вычислить 2 AT B – BT A.
41. Дано: ; . Вычислить BT A + AT A.
42. Дано: ; . Вычислить BT B – 2 AT B.
43. Дано: ; . Вычислить AT (B – A).
44. Дано: ; . Вычислить ABT A.
45. Дано: ; . Вычислить BTB AT.
46. Составить программу решения следующей задачи. Дан одномерный вещественный массив А(10). Вычислить количество нулевых элементов, расположенных после первого минимального.
47. Составить программу решения следующей задачи. Дан одномерный вещественный массив B(10). Вычислить количество повторений минимального элемента.
48. Составить программу решения следующей задачи. Дан одномерный вещественный массив C(10). Вычислить сумму элементов, превосходящих своих соседей (у первого и последнего элемента по одному соседу, у остальных – по два).
49. Составить программу решения следующей задачи. Дан одномерный целочисленный массив D(10). Вычислить количество нечетных элементов, расположенных перед первым максимальным элементом
50. Составить программу решения следующей задачи. Дан одномерный целочисленный массив C(10). Вычислить элемент наиболее близкий к минимальному положительному элементу массива, но не совпадающий с ним.
51. Составить программу решения следующей задачи. Дан целочисленный массив А(n). Сформировать целочисленный массив В по правилу 
и найти сумму чётных положительных элементов массива В.
52. Составить программу решения следующей задачи. Дан целочисленный массив В(m). Сформировать массив D из нечетных отрицательных элементов массива В и найти 
.
53. Составить программу решения следующей задачи. Дан одномерный массив A(n), упорядоченный по возрастанию. Включить в него элемент х, так, чтобы упорядоченность массива не нарушилась.
54. Составить программу решения следующей задачи. Дан вещественный массив С(n). Cформировать массив А из элементов массива С по модулю меньших 2 и найти 
и
55. Составить программу решения следующей задачи. Дан вещественный массив С(m). Определить максимальный элемент и сформировать новый массив из индексов максимальных элементов.
56. Составить программу решения следующей задачи. Дан целочисленный массив С(n). Сформировать массив А по правилу
,
и найти в массиве А последний чётный элемент.
57. Составить программу решения следующей задачи. Дан вещественный массив С(m). Поменять в нем местами все минимальные элементы с максимальными.
58. Составить программу решения следующей задачи. Даны вещественные массивы A(n) и С(m). Объединить эти массивы, поместив все элементы массива А между C(k) и C(k+1), k – исходное данное.
59. Составить программу решения следующей задачи. Даны вещественные массивы А(m), B(m), С(m). Решить все квадратные уравнения A(j)×x2 + B(j)x + C(j). Ответ вывести в таблицу из 5-х колонок: A(j), B(j), C(j), X1(j), X2(j). Там где вещественных решений нет, вместо обоих корней вывести одно слово «НЕТ».
60. Составить программу решения следующей задачи. Дан одномерный целочисленный массив C(10). Вычислить сумму нечетных элементов, расположенных между минимальным и максимальным элементами.
61. В следующем предложении вместо многоточия поставьте: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно». Для того чтобы сумма двух целых чисел была чётной,….., чтобы каждое слагаемое было чётным.
62. В следующем предложении вместо многоточия поставьте: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно». Для того чтобы число делилось на 15,……., чтобы оно делилось на 5.
63. В следующем предложении вместо многоточия поставьте: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно». Для того чтобы число делилось на 10,….., чтобы оно делилось на 2 и 5.
64. В следующем предложении вместо многоточия поставьте: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно». Для того чтобы сумма двух натуральных чисел была больше 30, ….., чтобы хотя бы одно слагаемое было больше 15.
65. В следующем предложении вместо многоточия поставьте: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно». Для того чтобы произведение (x – 3)(x + 2)(x –5) было равно 0,…., чтобы x = 3.
66. В следующем предложении вместо многоточия поставьте: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно». Для того чтобы 4-угольник был прямоугольником,….., чтобы его диагонали были равны.
67. В следующем предложении вместо многоточия поставьте: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно». Для того чтобы 4-угольник был квадратом,….., чтобы все его углы были равны.
68. В следующем предложении вместо многоточия поставьте: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно». Для того чтобы было верно неравенство 1/x < 1, ……, чтобы было x < 0 или x > 1.
69. Для следующей прикладной задачи постройте математическую модель проблемы, сформулируйте вычислительную задачу, найдите решение. Купил некто трёх сукон 106 аршин. Единого взял 12-ю аршинами больше перед другим, а другого – 9-ю больше перед третьим. И ведательно есть, колико коего сукна взято было.
70. Для следующей прикладной задачи постройте математическую модель проблемы, сформулируйте вычислительную задачу, найдите решение. Некий человек на вопрос, сколько он имеет денег, ответил: «Ащё придастся к моим деньгам толико же, елико имам, и полтолика, и 
и 
, и убавится из всего 50 рублёв, и тогда будет у меня 100 рублёв». И ведательно есть, колико той человек имяше денег.
71. Для следующей прикладной задачи постройте математическую модель проблемы, сформулируйте вычислительную задачу, найдите решение. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет ту же кадь в 10 дней. И ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь.
72. Для следующей прикладной задачи постройте математическую модель проблемы, сформулируйте вычислительную задачу, найдите решение. Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Сколь бы они скоро все три ту овцу съели, сочти.
73. Для следующей прикладной задачи постройте математическую модель проблемы, сформулируйте вычислительную задачу, найдите решение. Один путник идёт от града в дом, а ходу его будет 30 дён. А другой путник от дому во град, тот же путь творяше, может пройти в 20 дён. Оба же сии человека пойдоша во един и тот же час от мест своих. И ведательно есть, в колико дён они сойдутся.
74. Для следующей прикладной задачи постройте математическую модель проблемы, сформулируйте вычислительную задачу, найдите решение. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты 500 сажен, а собака в 5 минут делает 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца.
75. Для следующей прикладной задачи постройте математическую модель проблемы, сформулируйте вычислительную задачу, найдите решение. Некий человек нанял работника на год, обещав ему дати 12 рублёв и кафтан за работу. Но тот, проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойныя платы с кафтаном. Человек дате ему по достоинству расчёт 5 рублёв и кафтан. И ведательно есть, коликой ценой оный кафтан был.
76. Для следующей прикладной задачи постройте математическую модель проблемы, сформулируйте вычислительную задачу, найдите решение. Летят галки, лежат палки. Если на каждую палку сядет по галке, то одной галке не хватит палки. А если на каждую палку сядут по две галки, то одна палка останется без галки. Сколько летело галок, сколько лежало палок?
77. Вычислить производную функции f(x) = cos 2 (arctg(x3 – 1)).
78. Вычислить производную функции f(x) = ln 2 (arcsin(x4 +1)).
79. Вычислить производную функции f(x) = sin 2 (ln(x3 +1)).
80. Вычислить производную функции f(x) = tg 2 (arccos(x3 +1)).
81. Вычислить производную функции f(x) = cos 2 ((x3 +1)1/3).
82. Вычислить производную функции f(x) = tg 2 ((x2 – 1)1/5).