Раздел 2
ПРЕДЕЛЫИ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ.
Перед выполнением контрольной работы рекомендуется изучить теорию, необходимую для выполнения работы, и ответить на вопросы для самопроверки.
I. Функция
1. Дайте определение функции. Что называют областью определения и множеством значений функции.
2. Каковы способы задания функции? Примеры.
3. Какая функция называется сложной?
4. Дайте определения основных элементарных функций.
5. Дайте определения четной и нечетной функции. Примеры.
6. Какая функция называется периодической?
II. Предел и непрерывность функции
1. Дайте определение предела последовательности.
2. Дайте определение предела функции при 
.
3. Сформулируйте определение бесконечно малой функции при 
. Каковы ее свойства?
4. Какая функция называется бесконечно большой и каковы ее основные свойства?
5. Как связано понятие предела функции в точке с понятиями ее пределов слева и справа в этой точке?
6. Докажите основные теоремы о пределах.
7. Докажите 1-ый замечательный предел 
.
8. Сформулируйте определение числа е.
9. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки называют точками разрыва функции?
10. Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке, и дайте геометрическое истолкование этим свойствам.
11. Сформулируйте определение порядка одной бесконечно малой относительно другой бесконечно малой.
12. Докажите, что при 
бесконечно малые sinx, tgx, arcsinx, arctgx, ex-1, ln(1+x) эквивалентны х.
III. Производная и дифференциал функции одной переменной
1. Дайте определение производной функции в точке. Каков ее геометрический и механический смысл?
2. Как связаны между собой понятия непрерывности в точке и дифференцируемости в точке? Приведите примеры.
3. Выведите формулы производной суммы, произведения, частного.
4. Теорема о дифференцируемости сложной функции.
5. Докажите формулы из таблицы производных.
6. Дифференцирование степенно-показательных функций. Сформулируйте правило логарифмического дифференцирования.
7. Докажите теорему о дифференцировании обратной функции.
8. Сформулируйте определение дифференциала функции. Каков его геометрический смысл?
9. В чем состоит свойство инвариантности дифференциала функции?
10. Напишите формулу приложения дифференциала к приближенным вычислениям.
11. Сформулируйте определение производной и дифференциала высших порядков.
12. Как находится первая и вторая производная от функций, заданных параметрически?
IV. Функции нескольких переменных
1. Что называют функцией двух переменных, ее областью определения? Дайте геометрическое толкование этих понятий.
2. Дайте определение функции 3-х переменных и ее области определения.
3. Что называют пределом функции двух переменных в точке? Дайте определение функции, непрерывной в точке и в области.
4. Как определяются частные производные? Сформулируйте правило нахождения частных производных. Каков геометрический смысл частных производных функции двух переменных?
5. Какая функция 
называется дифференцируемой в точке Мо(хо, уо)? Что называют полным дифференциалом функции в точке? В чем состоит правило применения полного дифференциала для вычисления приближенных значений функции?
6. Выведите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
7. Выведите формулы для нахождения 
и 
сложной функции 
, где 
.
8. Напишите формулу вычисления полной производной сложной функции 
, 
.
9. Выведите формулу дифференцирования неявной функции 
, заданной уравнением 
.
10. Дайте определение частных производных высших порядков. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных функции двух переменных.
11. Что называют производной функции 
в данной точке М0 по направлению вектора? Выведите формулу ее вычисления.
12. Что называют градиентом скалярного поля в данной точке? Как выражается производная по направлению через градиент и единичный вектор?
13. Дайте определение локального максимума (минимума) функции двух переменных. Выведите необходимое условие и сформулируйте достаточное условие экстремума функции двух переменных.
14. Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.
15. Что называют условным экстремумом функции ? Как найти условный экстремум, если переменные связаны одним условием?
16. Напишите уравнение касательной и нормальной плоскости к кривой.
17. Как вычислить кривизну кривой в данной точке?