Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
Учреждение высшего образования
«Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова»
Финансовый факультет
Кафедра математических методов в экономике
Эссе
По дисциплине «Риск менеджмент»
На тему «Моделирование методом Монте-Карло»
Маслова Алина Вячеславовна
Червакова Мария Игоревна
Студенты группы 2302
Очной формы обучения
Финансовый факультет
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры математических методов в экономике
Картвелишвили Василий Михайлович
Москва – 2018
Оглавление
Введение. 3
1. Определение метода Монте-Карло. 4
2. История возникновения метода Монте-Карло. 4
3. Суть метода Монте-Карло. 6
Процесс моделируется при помощи генератора случайных величин. Это повторяется много раз, а потом на основе полученных случайных данных вычисляются вероятностные характеристики решаемой задачи. 6
Например, чтобы узнать, какое в среднем будет расстояние между двумя случайными точками в круге, методом Монте-Карло, нужно взять много случайных пар точек, для каждой пары найти расстояние, а потом усреднить. 6
4. Область применения метода Монте-Карло. 6
5. Достоинства Метода Монте-Карло. 7
6. Недостатки метода Монте-Карло. 7
7. Пример. 7
8. Метод Монте-Карло для одного фактора риска. 7
9. Метод Монте-Карло для портфеля активов. 9
10. Пример расчета системы массового обслуживания методом Монте-Карло 10
Заключение. 13
Список использованных источников. 14
Введение
Метод Монте-Карло – это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.
Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались малопригодными. Далее его влияние распространилось на широкий круг задач статистической физики, очень разных по своему содержанию. К разделам науки, где всё в большей мере используется метод Монте-Карло, следует отнести задачи теории массового обслуживания, задачи теории игр и математической экономики, задачи теории передачи сообщений при наличии помех и ряд других.
Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественность получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.
В подавляющем большинстве задач, решаемых методами Монте-Карло, вычисляют математические ожидания некоторых случайных величин. Так как чаще всего математические ожидания представляют собой обычные интегралы, в том числе и кратные, то центральное положение в теории методов Монте-Карло занимают методы вычисления интегралов.
1. Определение метода Монте-Карло
Метод Монте-Карло, или метод стохастического моделирования, основан на моделировании случайных процессов с заданными характеристиками.
Метод Монте-Карло, или метод стохастического моделирования, основан на моделировании случайных процессов с заданными характеристиками. В методе Монте-Карло изменение цен активов генерируется псевдослучайным образом в соответствии с заданными параметрами распределения, например, математическим ожиданием µ и волатильностью σ. Имитируемое распределение может быть, в принципе, любым, а количество сценариев – весьма большим (до нескольких десятков тысяч).
2. История возникновения метода Монте-Карло
Термин "метод Монте-Карло" (предложенный Дж. Фон Нейманом и С. М. Уламу в 1940-х) относится к моделированию процессов с использованием генератора случайных чисел. Термин Монте-Карло (город, широко известный своими казино) произошел от того факта, что "число шансов" (методы моделирования Монте-Карло) было использовано с целью нахождения интегралов от сложных уравнений при разработке первых Рис.1. Блочная структура системы ядерных бомб (интегралы квантовой механики). С помощью формирования больших выборок случайных чисел из, например, нескольких распределений, интегралы этих (сложных) распределений могут быть аппроксимированы из (сгенерированных) данных.
Возникновение идеи использования случайных явлений в области приближенных вычислений принято относить к 1878 г., когда появилась работа Холла об определении чисел с помощью случайных бросаний иглы на разграфленную параллельными линиями бумагу. Существо дела заключается в том, чтобы экспериментально воспроизвести событие, вероятность которого выражается через число , и приближенно оценить эту вероятность.
Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались мало пригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач статистической физики, очень разных по своему содержанию. К разделам науки, где все в большей мере используется метод Монте-Карло, следует отнести задачи теории массового обслуживания, задачи теории игр и математической экономики, задачи теории передачи сообщений при наличии помех и ряд других.
В 1950-х годах метод использовался для расчётов при разработке водородной бомбы. Основные заслуги в развитии метода в это время принадлежат сотрудникам лабораторий ВВС США и корпорации RAND.
В 1970-х годах в новой области математики — теории вычислительной сложности было показано, что существует класс задач, сложность (количество вычислений, необходимых для получения точного ответа) которых растёт с размерностью задачи экспоненциально. Иногда можно, пожертвовав точностью, найти алгоритм, сложность которого растёт медленнее, но есть большое количество задач, для которого этого нельзя сделать (например, задача определения объёма выпуклого тела в n-мерном евклидовом пространстве) и метод Монте-Карло является единственной возможностью для получения достаточно точного ответа за приемлемое время.
В настоящее время основные усилия исследователей направлены на создание эффективных Монте-Карло алгоритмов различных физических, химических и социальных процессов для параллельных вычислительных систем.
Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие метода вычислительной математики (например, развитие методов численного интегрирования) и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения. В тех случаях, когда имеется теоретико-вероятностное описание задачи, использование метода Монте-Карло может существенно упростить упомянутые ее решение. Впрочем, как будет следовать из дальнейшего, во многих случаях полезно и для задач строго детерминированных строить вероятностную модель (рандомизовать исходную задачу) с тем, чтобы далее использовать метод Монте-Карло.
3. Суть метода Монте-Карло
Процесс моделируется при помощи генератора случайных величин. Это повторяется много раз, а потом на основе полученных случайных данных вычисляются вероятностные характеристики решаемой задачи.
Например, чтобы узнать, какое в среднем будет расстояние между двумя случайными точками в круге, методом Монте-Карло, нужно взять много случайных пар точек, для каждой пары найти расстояние, а потом усреднить.
4. Область применения метода Монте-Карло
Используется для решения задач в различных областях физики, химии, математики, экономики, оптимизации, теории управления и др.
Моделирование методом Монте-Карло может быть использовано для двух различных целей:
1. Трансформирование неопределенности для обычных аналитических моделей
2. Расчет вероятностей, если аналитические методы не могут быть использованы
5. Достоинства Метода Монте-Карло
1. Высокая точность расчетов;
2. Высокая точность применительно к инструментам с нелинейными ценовыми характеристиками;
3. Возможность моделирования любых исторических и гипотетических распределений.
6. Недостатки метода Монте-Карло
1. Высокая сложность моделей и соответственно высокий риск неадекватности моделей;
2. Высокие требования к вычислительной мощности и значительные затраты времени на проведение расчетов.
7. Пример
Предположим, что нам нужно определить площадь плоской фигуры, расположенной внутри квадрата, сторона которого равна единице (рис. 1). Выберем внутри квадрата наугад N точек. Обозначим через M количество точек, попавших при этом внутрь фигуры. Тогда площадь фигуры приближенно равна отношению 𝑀/𝑁. Отсюда, чем больше N, тем больше точность такой оценки.
8. Метод Монте-Карло для одного фактора риска
Моделирование траектории цен производится по различным моделям. Например, распространенная модель геометрического броуновского движения дает в итоге следующие выражения для моделирования цены S на каждом шаге процесса, состоящего из очень большого количества шагов, охватывающих период T:
(1)
Если траектория цен состоит из n равных шагов (например, n дней), то один шаг, а случайная величина подчиняется стандартному нормальному распределению (µ=0, σ=1).
Можно использовать и иные модели эволюции цен, например, экспоненциальную.
Траектория цен – это последовательность псевдослучайным образом смоделированных цен, начиная от текущей цены и заканчивая ценой на некотором конечном шаге, например, на тысячном или десятитысячном. Чем больше число шагов, тем выше точность метода.
Каждая траектория представляет собой сценарий, по которому определяется цена на последнем шаге исходя из текущей цены. Затем производится полная переоценка портфеля по цене последнего шага и расчет измерения его стоимости для каждого сценария. Оценка VaR производится по распределению изменений стоимости портфеля.
Генерация случайных чисел в методе Монте-Карло состоит из двух шагов. Сначала можно воспользоваться генератором случайных чисел, равномерно распределенных на интервале между 0 и 1. Затем, используя как аргументы полученные случайные числа, вычисляют значения функций моделируемых распределений.
Однако следует помнить, что генераторы случайных чисел работают на детерминированных алгоритмах и воспроизводят так называемые «псевдослучайные числа», поскольку с некоторого момента последовательности этих псевдослучайных чисел начинают повторяться, т.е. они не являются независимыми. В простейших генераторах это происходит уже через несколько тысяч генераций, а в более сложных – через миллиарды генераций. Если массив случайных чисел начинает повторяться слишком быстро, то метод Монте-Карло перестает моделировать случайные, независимые сценарии и оценка VaR начинает отражать ограниченность генератора, а не свойства портфеля. Оптимальное количество шагов в процессе зависит от объема выборки, состава портфеля и сложности составляющих его инструментов и др.
9. Метод Монте-Карло для портфеля активов
Чтобы проводить моделирование по Монте-Карло для многофакторного процесса, можно точно так же моделировать каждый из k рассматриваемых факторов исходя из сгенерированных случайных чисел;
(2)
С целью учета корреляции между факторами необходимо, чтобы случайные величины εi и εj точно так же коррелировали между собой. Для этого используется разложение Холецкого, суть которого состоит в разложении корреляционной матрицы на две (множители Холецкого) и использовании их для вычисления коррелированных случайных чисел.
Корреляционная матрица является симметричной и может быть представлена произведением треугольной матрицы низшего порядка с нулями в верхнем правом углу на такую же транспонированную матрицу. Например, для случая двух факторов имеем:
(3)
Отсюда
(4)
Коррелированные случайные числа ε1 и ε2 получаются путем перемножения множителя Холецкого и вектора независимых случайных чисел ƞ.
(5)
При расчетах необходимо правильно выбрать количество множителей, чтобы получилась положительно определенная матрица.
10. Пример расчета системы массового обслуживания методом Монте-Карло
Рассмотрим простейшую систему массового обслуживания (СМО), которая состоит из n линий (иначе называемых каналами или пунктами обслуживания). В случайные моменты времени в систему поступают заявки. Каждая заявка поступает на линию № 1. Если в момент поступления заявки Так как эта линия свободна, заявка обслуживается время t3 (время занятости линии). Если линия занята, заявка мгновенно передается на линию № 2 и т. д. Если все n линий в данный момент заняты, то система выдает отказ.
Естественной является задача определения характеристик данной системы, по которым можно оценить ее эффективность: среднее время ожидания обслуживания, доля времени простоя системы, среднюю длину очереди и т. д.
Для подобных систем практически единственным методом расчета является метод Монте-Карло.
Среднее число заданий, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления заданий и определяется следующим соотношением:
(6)
где T - среднее значение интервала между поступлением очередных заданий. Для многих реальных процессов, как показали многочисленные исследования в этой области, поток заданий достаточно хорошо описывается законом распределения Пуассона. В этом случае функция распределения вероятности имеет вид P(t) = 1- exp(-lt), 0 £ t < ¥, а ее функция плотности распределения есть
(7)
При расчете времени обслуживания и времени поступления очередного задания в систему необходимо решать интегральные уравнения вида
(8)
где t – искомый момент времени, p(t) – функция плотности вероятности, g – случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0, 1]. Если распределение является Пуассоновским, то интеграл вычисляется аналитически и величина t определяется следующим образом
(9)
где случайная величина g распределена равномерно.
Каждой линии ставится в соответствие ячейка ЭВМ, в которую записывается момент освобождения линии. Пусть в момент времени t = Т1, который мы примем за начало отсчета, все линии свободны. За время окончания расчета примем Т=Ткон.
Первая заявка поступает на линию № 1 и тут же обслуживается, поскольку линия свободна. Следовательно, в течение времени 1 t эта линия будет занята. Поэтому заменяем t на новое значение:
t1 Т1 + 1 t и добавляем 1 к счетчику выполненных заявок. Затем переходим к рассмотрению следующей заявки. Для этого генерируем значение g, равномерно распределенное на [0, 1], и по формуле (9) вычисляем очередное значение t = t2. Вычисляем момент поступления второй заявки:
t2=T1+t2.
Проверяем, свободна ли в этот момент первая линия, т.е. выполнено ли условие
t1£t2.
Если это условие выполнено, линия свободна и приступает к обслуживанию второй заявки. Заменяем t1 на t2 + t3, добавляем 1 к счетчику выполненных заявок и переходим к рассмотрению следующей заявки.
Если линия занята, то проверяем, свободна ли вторая линия, и т. д. Если в какой-то момент времени заняты все линии, добавляем 1 в счетчик отказов и переходим к выполнению следующей заявки.
После каждого вычисления tk проверяем условие окончания опыта: tk>Tкон. Если это условие выполнено, опыт заканчивается. Такой опыт повторяется N раз, и результаты всех опытов усредняются.
Аналогично можно рассматривать более сложные задачи. Например, величина t3 может быть случайной или различной для различных линий, что позволяет отразить различие в мощности оборудования и/или квалификации обслуживающего персонала.
Подобные расчеты могут быть полезны при решении вопроса об увеличении линий, необходимости повышения квалификации персонала и т.д.
Заключение
В отличие от аналитических методов, ищущих решение в виде ряда по собственным функциям, метод Монте-Карло ищет решения в виде статистических сумм. Для применения достаточно описания вероятностного процесса и не обязательна его формулировка в виде интегрального уравнения; оценка погрешности чрезвычайно проста, их точность слабо зависит от размерности пространства.
С помощью метода Монте-Карло решаются многие сложные задачи, которые очень сложно или невозможно решить другими методами.
Список использованных источников
1. И.М.Соболь «Метод Монте-Карло», М., 1985
2. Энциклопедия финансового риск-менеджмента/ Под редакцией А.А. Лобанова и А.В. Чугунова – М: Альпина Паблишер, 2003
3. Интернет-ресурс: «Предыстория и определение метода Монте-Карло» /GIS/Learning/Monte-Carlo_2/Page01.htm
4.Интернет-ресурс «Метод Монте_карло» Режим доступа: /docs/TViMS/NP/lekziitv/lekziya17.htm