Приложение к блоку «Декодер»(ДК) 3 глава

В группу введем все реализации, у которых моменты времени и принадлежат одному тактовому интервалу. В эту группу из четырех реализаций (рис. 3) попадут реализации и .

В группу введем все реализации, у которых моменты времени и принадлежат разным (соседним) тактовым интервалам. В эту группу попадут реализации и .

Математическое ожидание случайной величины по всему ансамблю случайного процесса получим, если вначале раздельно найдем математические ожидания этого произведения по реализациям группы и по реализациям группы , а затем найденные математические ожидания усредним по обеим группам. Тогда

(по и ) (по ) (по )

= = + , (6),

где и - вероятности того, что реализация войдет, соответственно, в группу или группу .

(по )

Определим . Для любой реализации , попавшей в группу , произведение . Например,

если , тогда произведение ,

если , тогда произведение и т.д.

Таким образом, получим

(по )

(7).

(по )

Величина определяется аналогично, но при этом надо учитывать, что у реализации группы моменты времени и принадлежат разным тактовым интервалам, поэтому случайные величины и из группы будут независимы, что позволяет написать

по () (по ) (по )

=0 0=0 (8).

Подставляя (7) и (8) в (6) получим

(9).

Для определения вероятности на каждой реализации (рис. 3) введем интервал , равный расстоянию от момента до ближайшего момента времени, при котором может произойти изменение знака реализации. На рис. 3 видно, что каждая реализация имеет свою величину этого интервала и поэтому интервал есть величина случайная. Если момент времени перенести в точку момента времени , то тогда по смыслу величина интервала заменится на величину интервала на рис. 3 (см.п.2). Следовательно, величина интервала есть случайная величина, имеющая ту же самую плотность вероятности , что и случайная величина , то есть равномерную (рис. 5).

Рис. 5 Плотность вероятности случайной величины .

На рис. 3 видно, что для всех реализаций группы выполняется неравенство > (10),

где - известная детерминированная величина .

Неравенство (10) является формальным (математическим) признаком того, что реализация или принадлежит группе . Для реализаций группы аналогичным признаком является выполнение неравенства

< (11).

Таким образом, вероятность равна вероятности выполнения неравенства (10), т.е.

(12).

Зная плотность вероятности (рис. 5), можно найти величину

= = = = = (13).

При вычислении интеграла (13) верхний предел интегрирования равный заменяем конечной величиной , так как при значениях подынтегральная функция (рис. 5) равна нулю. Таким образом, равна той части площади прямоугольника, которая на рис. 5 обозначена штриховкой. Аналогично, используя неравенство (11), можно найти величину .

Подставляя величину в (9), запишем корреляционную функцию

= при (14).

Правая часть формулы (14) зависит только от , т.е. . Учитывая это свойство корреляционной функции, а также то, что (т.е. математическое ожидание не зависит от времени ), делаем вывод, что рассматриваемый процесс является стационарным процессом в широком смысле. Используя (5) и (14) можно построить график функции при (рис. 6).

Рис. 6 График при .

На интервале график имеет форму прямой линии, имеющей отрицательный наклон, проходящий через точку на оси ординат и точку на оси абсцисс.

Линейная зависимость графика (рис. 6) с отрицательным наклоном объясняется тем, что в (14) аргумент входит в первой степени и перед ним стоит знак минус.

Стационарность процесса позволяет продолжить кривую в область отрицательных значений < , используя свойство симметрии

корреляционной функции стационарного процесса.

Аналитическое выражение для корреляционной функции , справедливое, как для значений > , так и для значений < , имеет вид

(15).

Для корреляционной функции соответствует график рис. 7

Рис. 7 График корреляционной функции .

Определим дисперсию заданного случайного процесса . Известно, что дисперсия стационарного процесса равна значению корреляционной функции при значении , т.е.

(16).

Из графика рис. 7 следует, что удовлетворяет следующему пределу (17),

что является необходимым и достаточным условием эргодичности данного стационарного процесса .

Таким образом, рассматриваемый случайный процесс является не только стационарным, но и эргодическим процессом. Тогда вероятностные характеристики такие, как математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция, в принципе, могут быть определены с помощью только одной реализации из ансамбля процесса путем соответствующих усреднений этой реализации по времени.

Для определения спектральной плотности мощности случайного процесса используется теорема Винера-Хинчина, которая справедлива только для стационарных центрированных процессов.

= (18),

т.к. , поскольку является четной функцией аргумента , а - нечетная функция (произведение четной функции на нечетную функцию является нечетной функцией, а интеграл от любой нечетной функции в указанных пределах интегрирования равен нулю). Учитывая четность подынтегральной функции в (18), а также формулу (15), вместо (18) можно написать

(19).

Используя метод интегрирования по частям, после элементарных преобразований получим окончательный результат

(20)

График функции представлен на рис. 8.

Рис. 8 Спектральная плотность .

Функция (20) в точках обращается в нуль, и кривая при этих значениях касается оси абсцисс.

Основная доля мощности сигнала сосредоточена в ограниченной полосе частот вблизи частоты . Случайный синхронный телеграфный сигнал, имеющий теоретически бесконечную протяженность спектра, (является нефинитным) с практической точки зрения его можно считать низкочастотным, но занимающим достаточно широкую полосу частот.

Корреляционные функции и случайных процессов и на выходе блока ФМС определяются по аналогичной методике определения корреляционной функции случайного процесса , поступающего на вход блока ФМС. При определении будет небольшое отличие при определении математического ожидания произведения по группе , в которую попадают реализации случайного процесса , при выполнении неравенства . Во-первых, изначально, процессы и являются центрированными случайными процессами. Во-вторых, поскольку реализации случайного процесса , в отличие от реализаций случайного процесса , принимают четыре дискретных значения с одинаковой вероятностью , то математическое ожидание произведения по группе будет равно

(по )

=

(21).

Корреляционная функция случайного процесса будет равна.

(22),

где вместо интервала введено обозначение - символьный интервал, - бинарный интервал, величиной можно заменить , тогда

Рис. 9 График корреляционной функции .

Случайный процесс имеет такие же вероятностные характеристики, какие имеет процесс , поэтому имеет место равенство

(23).

Используя теорему Винера-Хинчина и равенство (23), получим

(24).

Форма графика функций и будет похожа на форму графика на рис. 8. Величина главного максимума станет равной , в точках и график этих функций будет касаться оси абсцисс .

В случае КАМ-16 величина и поэтому график функций и , оставаясь нефинитным, станет в 4 раза уже, чем график на рис. 8.

Изложенную методику определения корреляционной функции для случайного синхронного телеграфного сигнала несложно обобщить и получить корреляционные функции для случайных процессов, в которых в качестве переносчиков информационных символов используются импульсы , форма которых отличается от прямоугольной формы. Примерами таких импульсов, используемых на практике, являются импульсы , форма которых похожа на форму гауссовской плотности вероятности, а также импульсы, связанные с сигналами со спектром «приподнятого косинуса».

Гауссовские импульсы, например, используются в системе сотовой связи GSM (Global System for Mobile communications), в системе GMSK (Gaussian Minimum Shift Keying). Сигналы со спектром «приподнятого косинуса» используются в спутниковой и мобильной связи.

Например, если задан случайный процесс

(25),

где - случайная величина, заданная на символьном интервале с номером , которая принимает известные дискретные значения с заданными вероятностями, величина их не зависит от значения ;

- детерминированный импульс заданной формы (не обязательно прямоугольной), тогда корреляционная функция случайного процесса может быть определена как

(26),

где - математическое ожидание случайной величины ;

- частота поступления в канал связи информационных символов

(27)

- автокорреляционная функция импульса .

 

 

«П4 к блоку ФМС».

На рис 1 изображен блок ФМС. С выхода кодера (К) формируются реализации случайного сигнала (процесса) и поступают на вход блока ФМС. В [7] сигнал, с выхода сверточного кодера, представляет собой случайную последовательность однополярных прямоугольных импульсов с амплитудой 1В и предполагается, что этот сигнал преобразуется в последовательность биполярных прямоугольных импульсов, где

– символ «1» передается импульсом положительной полярности с амплитудой (может быть обозначено ) и длительностью , где - бинарный интервал.