Понятие функции потерь
Выбор функции стоимости при оценке параметров зависит от требуемой точности измерения координат. В различных задачах используются различные функции стоимости.
. Простая функция стоимости:
При использовании простой функции стоимости всем правильным решениям приписываются стоимости равные 
, а всем неправильным решениям, независимо от величины ошибок, приписывается постоянная стоимость С.
. Допустимая функция стоимости (релейная):
В этом случае всем решениям, абсолютная ошибка которых не превышает некоторого фиксированного значения 
, приписывается нулевая стоимость, а решениям с ошибками, большими чем - постоянная стоимость 
.
. Линейная функция стоимости: 
.
Линейная стоимость приписывает правильному решению нулевую стоимость, а всем неправильным - стоимость, увеличивающуюся по линейному закону с ростом модуля абсолютной ошибки решения.
. Квадратичная функция стоимости: 
.
Приписывает всем неправильным решениям стоимость, изменяющуюся по квадратичному закону с ростом ошибки решения.
Наиболее часто используется среднеквадратическая функция потерь.
Оптимальный измеритель должен минимизировать средний риск. Задача измерения параметров сигнала имеет следующую последовательность.
. По критерию минимального среднего риска определяется оптимальное правило решения (алгоритм) задачи оценки параметров сигнала.
. На основании найденного алгоритма находится структурная схема оптимального измерителя.
. Структурная схема реализуется радиотехническими средствами.
. Сравнивается оптимальный и реальный измерители по точности измерений и другим показателям (стоимости, надежности, весу, габаритам и т.д.).
Для вычисления среднего риска, как было показано ранее, необходимо найти апостериорное распределение измеряемого параметра и задаться функцией стоимости.
Рассмотрим наиболее часто используемый случай, когда среднеквадратическая функция потерь:
.
Средний риск может быть определен по формуле:
;
При этом 
есть ничто иное, как усредненная по 
и 
дисперсия ошибки измерений, а оптимизация измерений сводится к достижению минимальной среднеквадратичной ошибки. Уравнение для нахождения оптимальной оценки имеет вид:
;
Решением этого уравнения является условное математическое ожидание апостериорного распределения, т.е. среднее значение апостериорного распределения. Для нахождения среднего значения необходимо знать полностью апостериорное распределение.
При других функциях стоимости - другие оптимальные решения.
Если функция распределения 
симметричная, то центр тяжести (мат. ожидание) и максимум функции совпадают. Итак, необходимо определить максимум функции апостериорного распределения.
Из теории вероятности известно, что:
.
Полагая, что факт приема сигнала достоверно известен, будем считать 
, тогда:
.
Т.е. для определения условной вероятности 
необходимо знать безусловное распределение измеряемого параметра и условную вероятность 
, являющуюся функцией правдоподобия. Тогда:
;
Во многих практических случаях распределение 
является более пологой функцией по сравнению с функцией .
В этом случае вероятность 
во всем интервале оценок параметра 
можно считать постоянной и оптимальная оценка должна совпадать с абсциссой экстремума функции правдоподобия. Поэтому необходимо для оптимальной оценки находить максимум функции правдоподобия, т.е. решать уравнение:
;
Учитывая, что с функцией правдоподобия монотонно связан корреляционный интеграл 
(отклик согласованного фильтра), для отыскания оптимально правильного решения, задачи оценки параметров сигнала, необходимо решить уравнение:
;
Такой метод оценки называется оптимальной оценкой по критерию максимального правдоподобия.
Для нормального белого шума и детерминированного сигнала функция правдоподобия:
;
где: 
- корреляционный интеграл.
Структура оптимального измерителя
Измерение какого-либо сигнала возможно при условии его полного обнаружения. В этой связи весьма важно определить совпадают ли структуры оптимального обнаружителя и оптимального измерителя, или после обнаружения необходимо изменить структуру приемника для оптимальной оценки параметров.
Оптимальный измеритель должен формировать обратную вероятность (апостериорную) измеряемого параметра сигнала или самого сигнала, параметр которого оценивается при заданном входном воздействии:
;
и находить абсциссу его оптимальной оценки, которая обычно совпадает с максимумом 
.
Выше мы определили, что если помеха является гауссовым белым шумом, то:
;
Таким образом, для оптимальной оценки параметра сигнала необходим приемник, формирующий максимум корреляционного интеграла, т.е. такой же приемник, который необходим для оптимального обнаружения.
Поскольку значение измеряемого параметра изменяется в некоторых пределах, реализация оптимальной оценки требует вычисления континуума значений корреляционного интеграла. Реализовать такой алгоритм можно либо применением корреляторов с бесконечным числом каналов, либо путем перестройки одноканальной схемы измерителя.
параметр радиолокационный сигнал измеритель
Практически число каналов ограничивается конечностью интервалов неопределенности по осям 
и 
функции неопределенности реальных зондирующих сигналов. Интервал неопределенности характеризует разрешающую способность по измеряемым параметрам, поэтому число каналов определяется:
;
где: 
- максимальное и минимальное значения измеряемого параметра; 
- интервал неопределенности по измеряемому параметру.
Включенное на выходе приемника решающее устройство выбирает канал, в котором 
максимально. Номер канала однозначно связан с параметром 
его опорного сигнала и поэтому определяет оптимальную оценку параметра 
.
Структурная схема имеет вид:
В частном случае, когда оцениваемым параметром является время запаздывания сигнала 
, блок опорных сигналов проще всего выполнить на линии задержки с отводами:
При использовании для оптимальной оценки СФ необходимо при измерении дальности, например, каждый канал апробировать, т.е. открывать каждый канал на время прихода сигнала с определенной задержкой. Это делается потому, что СФ инвариантен ко времени прихода сигнала. В этом случае схема оптимального измерителя может быть представлена в следующем виде:
При большом числе идентичных каналов схема оптимального измерителя получается излишне сложной, громоздкой и ненадежной. В этом случае вынуждены переходить к следящему оцениванию.
При следящем оценивании опорное колебание может содержать ожидаемое значение параметра 
, сформированное путем экстраполяции оценок, проведенных на предыдущих измерениях, с учетом прогноза эволюции параметра. При этом, вместо оценки 
текущего значения параметра, оценивается малая разность между текущим и близким к истинному опорным его значением: 
, которая затем суммируется с , давая результирующую оценку: 
. Устройство, оценивающее 
, названо дискриминатором. Структурная схема следящего измерителя имеет следующий вид:
Дискриминатор вычисляет корреляционные интегралы от двух близких значений измеряемого параметра и схему сравнения. Оценка 
по критерию максимального правдоподобия соответствует равенству корреляционных интегралов, т.е. нулевому напряжению на выходе дискриминатора, что эквивалентно оценке положения линии симметрии, разделяющей сигнал.
По рассмотренному выше алгоритму работает большой класс систем следящего и не следящего типа. Например: импульсные автодальномеры, пеленгаторы, работающие по центру входной реализации колебания (при импульсных сигналах - по центру пачки), измерители скорости по центру тяжести спектра отраженного сигнала.