Математическое описание САУ

Исследование линейных стационарных систем

 

Методические указания к выполнению контрольного задания по курсу

«Теория автоматического управления»

для студентов заочной формы обучения

специальностей 220301.65 «Автоматизация технологических процессов и производств», 151001.65 «Технология машиностроения»,

150202.65 «Оборудование и технология сварочного производства» и направлений 151900.62 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», 150700.62 «Машиностроение», 220400.62 «Управление в технических системах», 220700.62 «Автоматизация технологических процессов и производств»

 

 

Курган 2012

 

Кафедра автоматизации производственных процессов

Дисциплина: «Теория автоматического управления»

Составили: канд. техн. наук, доцент И.А. Иванова

канд. техн. наук, доцент О.В. Дмитриева

Утверждено на заседании кафедры «06» сентября 2012г.

Рекомендовано методическим советом университета «___» _________ 2012г.

 

 

Содержание

 

Введение………………………………………………………………………...………
1. Математическое описание САУ
2. Структурные схемы САУ ………………….………..…
3. Временные характеристики САУ………………..…………….....…………..…
4. Частотные характеристики САУ…………………………….…..…………..…
5. Устойчивость САУ ………………………………..…..……………………....

 

Введение

 

Выполнение контрольного задания является одним из видов занятий по курсам «Теория автоматического управления», «Основы теории автоматического регулирования». Целью контрольного задания является проверка усвоения студентами соответствующего раздела курса.

Вариант контрольного задания выбирается студентом в соответствии с суммой трех последних цифр зачетной книжки. При оформлении задания необходимо привести номер заданного варианта, условия задач с принятыми обозначениями и заданными числовыми значениями.

В тексте следует привести все использованные при решении формулы, конечный результат должен быть выделен из основного текста. В ходе решения необходимо давать краткие пояснения. На титульном листе указать наименование учебного заведения и факультета, фамилию, инициалы и шифр студента, в конце работы привести список использованной литературы.

Все рисунки и таблицы в тексте должны иметь наименование.

Контрольная работа содержит задачи по следующим темам:

- общие понятия и определения;

- логарифмические частотные характеристики и логарифмические единицы измерения;

- восстановление передаточной функции САУ по ее логарифмической характеристике (ЛАЧХ);

- определение по передаточной функции САУ типовых звеньев, входящих в ее структуру;

- определение по передаточной функции САУ значения фазовой частотной характеристики при заданном значении частоты;

- определение граничного коэффициента передачи разомкнутой цепи САУ;

- определение запасов устойчивости по амплитуде и фазе;

- передаточные функции САУ при жестких и гибких обратных связях;

- вывод передаточных функций четырехполюсников;

- определение вида переходной характеристики по передаточной функции звена или вида ЛАЧХ.

 

 

Математическое описание САУ

Для анализа САУ необходимо иметь ее математическое описание. Система разделяется на элементы и составляются уравнения, описывающие их поведение – изменение состояния во времени. Уравнения составляются на основании анализа физических, химических и иных процессов, происходящих в элементах.

Ниже рассматриваются только стационарные САУ, у которых свойства элементов не изменяются с течением времени и каждый динамический процесс (изменение состояния элемента во времени) зависит лишь от начального состояния элемента и характера внешних воздействий.

В практике широко используют представление элементов их передаточными функциями.

Передаточной функцией элементаназывается отношение изображений по Лапласу выходной и входной величины при нулевых начальных условиях:

где Х_вых(р) – изображение выходной величины; Х_вх(р) – изображение входной величины.

Передаточная функция является основной характеристикой звена в динамическом режиме, из которой можно получить все остальные характеристики. Она определяется только параметрами системы и не зависит от входных и выходных величин.

 

Задача 1

Найти передаточную функцию пружины и демпфера, если пренебречь влиянием массы подвижных частей и принять за входную величину силу F, а за выходную – перемещение точки А, обозначив его как х. ∙ С ₁ – коэффициент жидкости, [кг/c], С ₂ - коэффициент упругости пружины [кг/с²]

Рис.1. Демпфер

 

Таблица 1

Варианты заданий к задаче 1

№ варианта	С 1	С2	№ варианта	С1	С2
	0,5	1,0		1,0	0,6
	0,5	0,9		0,9	0,7
	0,1	0,8		0,8	0,7
	0,2	0,7		0,7	0,8
	0,1	0,6		0,6	0,9
	0,3	0,5		0,5	0,8
	0,4	0,3		0,4	0,7
	0,6	0,2		0,3	0,6
	0,7	0,1		0,2	0,5
	0,8	0,2		0,1	0,4
	0,9	0,3		0,2	0,3
	1,0	0,4		0,3	0,2
	1,0	0,5		0,5	0,4

 

 

Примечание. Составить уравнение равновесия сил. Применить преобразования Лапласа. По определению передаточной функции получить ее выражение для данного случая, привести полученное выражение к типовой записи передаточной функции.

 

Задача 2

Найти передаточную функцию пассивного четырехполюсника.

Рис.2. Пассивный четырехполюсник

 

Примечание. Передаточная функция пассивного четырехполюсника: . Таким образом, необходимо найти отношение сопротивлений в изображениях по Лапласу, учитывая, что изображение активного сопротивления R = R, а изображение емкостного сопротивления R_c = = . Далее по правилам параллельного и последовательного соединения найти общие сопротивления входной и выходной цепи. Полученное выражение передаточной функции привести к типовой записи.

Таблица 2

Варианты заданий к задаче 2

№ варианта	R1, кОм	R2, кОм	С, мкф	№ варианта	R1, кОм	R2, кОм	С, мкф
			2,5				0,1
			2,0				0,2
			1,5				0,3
			1,0				0,4
			0,5				0,5
			1,0				0,6
			0,5				0,7
			2,0				0,8
			2,5				0,9
			2,0				1,0
			1,5				1,5
			1,0				2,0
			0,5				0,5

 

 

2. Структурные схемы САУ

Звено САУ с известной передаточной функцией называется динамическим звеном. Оно изображается прямоугольником, внутри которого записывается выражение передаточной функции. Для звена с двумя входами и одним выходом должны быть записаны две передаточные функции по каждому из входов. Передаточные функции элемента определяются относительно каждого из входных воздействий, при этом предполагается, что все остальные входные воздействия равны нулю.

Структурная схема САУ строится из элементарных динамических звеньев. Но несколько элементарных звеньев могут быть заменены одним звеном со сложной передаточной функцией. Для этого существуют правила эквивалентного преобразования структурных схем. Рассмотрим возможные способы соединения звеньев.

1. Последовательное соединение (рис.3) - выходная величина предшествующего звена подается на вход последующего.

 

Рис.3. Структурная схема САУ с последовательным соединением звеньев

 

При этом можно записать:

,

где - передаточные функции звеньев цепи.

То есть цепочка последовательно соединенных звеньев преобразуется в эквивалентное звено с передаточной функцией, равной произведению передаточных функций отдельных звеньев.

2. Параллельное соединение (рис.4) - на вход каждого звена подается один и тот же сигнал, а выходные сигналы складываются.

Передаточная функция цепи звеньев, соединенных параллельно равна сумме передаточных функций отдельных звеньев.

,

где - передаточные функции звеньев цепи.

Рис.4. Структурная схема САУ с параллельным соединением звеньев

 

3. Соединения с обратной связью (параллельно-встречное соединение) (рис. 5) - звено охвачено положительной или отрицательной обратной связью. Участок цепи, по которому сигнал идет в противоположном направлении по отношению к системе в целом (то есть с выхода на вход) называется цепью обратной связи с передаточной функцией .

Рис.5. Структурная схема САУ с обратной связью

 

При этом для отрицательной обратной связи:

,

для положительной обратной связи:

.

Участок цепи, состоящий из последовательно соединенных звеньев, соединяющий точку приложения входного сигнала с точкой съема выходного сигнала называется прямой цепью. Цепь из последовательно соединенных звеньев, входящих в замкнутый контур называют разомкнутой цепью.

Пример 1

Апериодическое звено с параметрами и охвачено положительной обратной связью . Определить коэффициент передачи K и постоянную времени эквивалентного звена.

Решение:

Передаточная функция звена, охваченного положительной обратной связью, имеет вид:

, то есть , .

Ответ: 100; 10.

Задача 3

Как изменится постоянная времени и коэффициент передачи колебательного звена при охвате его отрицательной обратной связью с передаточной функцией обратной связи К₀? Передаточная функция колебательного звена .

Таблица 3

Варианты заданий к задаче 3

№ варианта	K	T	2ξ	К 0	№ варианта	K	T	2ξ	К 0
		0,1	0,2	1,0			0,4		2,0
		0,2	0,4	2,0			0,3	1,2	1,0
		0,3	0,6	1,0			0,2	1,4	2,0
		0,4	0,8	2,0			0,1	1,6	1,0
		0,5		1,0			0,2	1,8	2,0
		0,6	1,2	2,0			0,3	0,2	1,0
					Продолжение табл.3.
		0,7	1,4	1,0			0,4	0,4	2,0
		0,8	1,6	2,0			0,5	0,6	1,0
		0,9	1,8	1,0			0,6	0,8	2,0
		0,8	0,2	2,0			0,7		1,0
		0,7	0,4	1,0			0,8	1,2	2,0
		0,6	0,6	2,0			0,9	1,4	1,0
		0,5	0,8	1,0			0,8	1,6	2,0

Задача 4

Апериодическое звено с параметрами и охвачено обратной связью с коэффициентом . Определить коэффициент передачи и постоянную величину времени эквивалентного звена.

Таблица 4

Варианты заданий к задаче 4

№ вариан-та	K0	T0	Связь	Кос	№ вариан-та	K0	T0	Связь	Кос
		0,1	Жесткая положит.	1,0			0,4	Гибкая отриц.	2,0
		0,2	Гибкая отриц.	2,0			0,5	Жесткая отриц.	1,0
		0,3	Жесткая отриц.	1,0			0,6	Жесткая положит.	2,0
		0,4	Гибкая положит.	2,0			0,7	Гибкая отриц.	1,0
		0,5	Жесткая положит.	1,0			0,8	Жесткая отриц.	2,0
		0,6	Гибкая отриц.	2,0			0,9	Гибкая положит.	1,0
		0,7	Жесткая отриц.	1,0			0,1	Жесткая положит.	2,0
		0,8	Гибкая положит.	2,0			0,2	Гибкая отриц.	1,0
		0,9	Жесткая положит.	1,0			0,3	Жесткая отриц.	2,0
		0,8	Гибкая отриц.	2,0			0,4	Гибкая положит.	1,0
		0,1	Жесткая отриц.	1,0			0,5	Жесткая положит.	2,0
		0,2	Гибкая положит.	2,0			0,6	Гибкая отриц.	1,0
		0,3	Жесткая положит.	1,0			0,7	Жесткая отриц.	2,0

3. Временные характеристики

На практике часто имеется резкое изменение внешнего воздействия на САУ, например, включение или выключение потребителей электрической энергии, увеличение или уменьшение момента сопротивления на валу регулируемого двигателя и т.п. Типовым изменением воздействия считают мгновенное его изменение от нуля до значения, равного единице. Для математической записи используют единичную ступенчатую функцию:

Реакция элемента или системы при нулевых начальных условиях на входную величину, являющуюся единичной ступенчатой функцией времени, называют переходной характеристикой (переходной функцией) элемента или системы.

,

где - передаточная функция элемента или системы, - изображение единичной ступенчатой функции.

Другим часто встречающимся изменением внешних воздействий являются их кратковременные, но существенные по значению всплески, импульсы.

Нормированным импульсным воздействием считается единичный импульс, у которого произведение длительности на величину равно единице. Пределом, к которому стремится единичный импульс, когда его продолжительность стремится к нулю – единичная импульсная функция

 

- что является основным свойством - функции.

Реакцию элемента или системы на единичную импульсную функцию называют импульсной характеристикой (функцией веса) .

;

.

Зная передаточную функцию ), выражение для переходной функции можно найти из формулы Хевисайда:

,

где p_k - корни характеристического уравнения D(p) = 0. Взяв производную от переходной функции можно получить выражение для импульсной переходной функции .

 

Пример 2

По ЛАЧХ звена, приведенной на рисунке 8, определить вид переходной характеристики на выходе этого звена.

 

Рис.7. ЛАЧХ звена

 

Решение:

ЛАЧХ (рис.7) соответствует инерционному форсирующему звену с передаточной функцией , причем . При подаче на вход звена единичного ступенчатого воздействия изображение выходной величины будет .

Найдем оригинал от этого изображения, воспользовавшись формулой разложения для нулевого и одного простого полюса

.

На рисунке 8 приведен график , рассчитанный при , и . Зависимость имеет вид падающей экспоненты, начинающейся со значения и стремящейся к значению . Аналогичную зависимость необходимо выбрать из предлагаемых вариантов.

Рис.8. Переходная функция звена

 

Задача 5

По ЛАЧХ звена определить вид переходной характеристики на выходе этого звена

20lgK

-20

 

Рис.9. ЛАЧХ звена

Таблица 5

Варианты заданий к задаче 5

№ варианта	K	T1	T2	№ варианта	K	T1	T2
		0,1	0,01			0,5	0,25
		0,2	0,1			0,6	0,25
		0,3	0,1			0,7	0,3
		0,4	0,2			0,8	0,4
		0,5	0,3			0,9	0,5
		0,6	0,3			0,1	0,02
		0,7	0,4			0,2	0,05
		0,8	0,5			0,3	0,1
		0,9	0,6			0,4	0,2
		0,1	0,05			0,5	0,2
		0,2	0,15			0,6	0,2
		0,3	0,2			0,7	0,25
		0,4	0,25			0,8	0,45

4. Частотные характеристики

 

Импульсные и переходные характеристики дают информацию о поведении автоматических систем в переходных режимах. Для оценки установившихся режимов более удобно рассматривать поведение элементов и систем при воздействиях, являющихся периодическими функциями времени. В качестве таких воздействий были выбраны гармонические воздействия. Гармонические воздействия имеют следующие преимущества:

- реально встречающиеся воздействия, как правило, могут быть представлены в виде суммы гармоник различных частот (разложение Фурье)

- в установившихся режимах гармонические сигналы передаются линейными элементами и системами без искажений.

Если на вход стационарного линейного элемента или системы воздействует гармонический сигнал , где - амплитуда, - угловая частота, то на выходе с течением времени устанавливается гармонический сигнал той же угловой частоты, но с измененным значением амплитуды и фазы сигнала.

Отношение - называется амплитудно-частотной характеристикой; - фазо-частотной характеристикой.

Эти характеристики показывают как изменяются амплитуда и фаза изменяется при изменении угловой частоты . Частотные характеристики зависят от свойств элемента или системы, но не зависят от амплитуды и фазы входных гармонических сигналов.

Частотные характеристики любого объекта связаны с его передаточной функцией. Если в выражение передаточной функции вместо подставить мнимую величину (подстановку Фурье), то получаем частотную передаточную функцию . Частотная передаточная функция является комплексной величиной, , модуль которой равен отношению амплитуды выходного и входного сигнала, а аргумент – углу сдвига фаз между выходным и входным сигналами. Функция может быть представлена в алгебраическом виде , где - действительная часть, - мнимая часть частотной передаточной функции.

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) представляет собой годограф (геометрическое место концов векторов) частотной передаточной функции при изменении частоты от 0 до . Характеристика строится на комплексной плоскости. Для построения АФХ выражение представляют в виде действительной и мнимой части путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное знаменателю выражения.

При расчетах широко используют логарифмические частотные характеристики: логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ) и логарифмическую фазо-частотную характеристику (ЛФЧХ). При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе. Отрезок оси абсцисс, соответствующий изменению частоты в 10 раз, называется декадой. Обычно ось абсцисс начинают с частоты , т.к. . По оси ординат ЛАЧХ откладывают в равномерном масштабе логарифмическую амплитуду в децибеллах. ЛФЧХ имеет такую же ось абсцисс, что и ЛАЧХ, а по оси ординат откладывают в равномерном масштабе угол сдвига фаз .

Логарифмические частотные характеристики удобны тем, что охватывают больший диапазон частот и кривые амплитудно-частотных характеристик заменяются отрезками кривых с определенными углами наклонов: дБ/дек, дБ/дек и т.д. Физический смысл наклона – 20 дБ/дек: при увеличении частоты в 10 раз амплитуда выходного сигнала уменьшается в 10 раз, соответственно наклон – 40 дБ/дек – означает уменьшение амплитуды в 100 раз.

ЛАЧХ апериодического звена первого порядка показана на рисунке 10.

.

Рис.10. ЛАЧХ апериодического звена первого порядка

 

Частота ω ₁ называется сопрягающей частотой. Максимальное отличие реальных ЛАЧХ от асимптотических не превышает 3 дБ при ω=ω ₁.

При исследовании и проектировании САУ часто используют АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутых систем. Это объясняется тем, что разомкнутые САУ более просто исследовать экспериментально, чем замкнутые. В то же время по ним можно получить исчерпывающую информацию о поведении данной САУ в замкнутом состоянии.

Разомкнутая одноконтурная САУ состоит из цепочки последовательно соединенных динамических звеньев. В соответствии с тем, что передаточная функция разомкнутой одноконтурной системы равна произведению передаточных функций отдельных звеньев, ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САУ строят путем графического сложения ЛАЧХ и ЛФЧХ звеньев:

;

.

 

Таким образом, ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САУ могут быть построены путем графического сложения ЛАЧХ и ЛФЧХ звеньев. При этом ограничиваются построением асимптотической ЛАЧХ.

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ рекомендуется следующий порядок:

1. Раскладывают сложную передаточную функцию на множители, являющиеся передаточными функциями типовых динамических звеньев (порядок полиномов числителя и знаменателя не выше второго);

2. Определяются частоты сопряжения и расставляются по оси абсцисс.

- Определяется первоначальный наклон характеристики, он составляет: 0 – при отсутствии интегрирующих звеньев; 20 дБ/дек – при наличии интегрирующего звена; 40 дБ/дек – при наличии двух интегрирующих звеньев; + 20 дБ/дек – при наличии дифференцирующего звена.

3. Определяется начальная точка характеристики 20 К на частоте .

4. Первоначальный наклон характеристики продолжается до первой частоты сопряжения, после чего меняется на – 20 дБ/дек, если частота сопряжения соответствует апериодическому звену I порядка, - 40 дБ/дек – если колебательному звену, + дБ/дек – если форсирующему звену.

Наклон характеристики меняется после каждой частоты сопряжения. Угол сдвига фазы определяется:

где - постоянные времени апериодических звеньев; - постоянные времени форсирующих звеньев; - постоянные времени колебательных звеньев; - количество интегрирующих звеньев.

Пример 3

Определить постоянную времени апериодического звена с коэффициентом передачи , если частота среза его ЛАЧХ (рис.11) .

.

Рис.11. ЛАЧХ заданного апериодического звена первого порядка

Решение:

Коэффициент передачи звена в децибелах . Частота среза в декадах . Так как ЛАЧХ апериодического звена имеет наклон -20 дБ/дек, то частота сопряжения . Следовательно, постоянная времени апериодического звена .

Ответ: 0,01.

Пример 4

Указать величину наклона ЛАЧХ с передаточной функцией при частоте .

Решение:

САУ содержит следующие типовые звенья: дифференцирующее с коэффициентом передачи , форсирующее с постоянной времени и колебательное с постоянной времени с и коэффициентом демпфирования .

Определим частоты сопряжения для построения асимптотической ЛАЧХ САУ.

;

.

При ЛАЧХ (рис.13) имеет наклон +20 дБ/дек, обусловленный дифференцирующим звеном. При наклон ЛАЧХ равен сумме наклонов ЛАЧХ дифференцирующего (+20 дБ/дек) и форсирующего (+20 дБ/дек) звеньев, то есть +40 дБ/дек.

 

Рис.13. ЛАЧХ системы

 

При “включается” колебательное звено, коэффициент наклона ЛАЧХ для которого равен -40 дБ/дек при . Суммарный наклон ЛАЧХ при частоте будет равен .

Ответ: 0.

Пример 5

Определить значение при фиксированном значении частоты для САУ, заданной передаточной функцией (ответ привести в градусах с точностью до десятых).

 

Решение:

САУ состоит из двух типовых звеньев: дифференцирующего (), для которого фаза , и колебательного с постоянной времени и коэффициентом демпфирования , для которого фазовая характеристика рассчитывается по выражению .

При получим:

Ответ:

 

Пример 6

Задание последовательность наклонов ЛАЧХ: 0 на уровне 40 дБ при , -20 дБ/дек при , при , -20 дБ/дек при . Восстановить передаточную функцию САУ по этим данным, представив ответ в виде дроби с полиномами в числителе и знаменателе, записанным в порядке убывания степени оператора Лапласа .

Решение:

В соответствии заданными наклонами ЛАЧХ и частотами сопряжения, САУ содержит следующие последовательно соединенные звенья: пропорциональное (усилительное, безинерционное) с коэффициентом передачи ; апериодическое (инерционное) с постоянной времени ; форсирующее с постоянной времени ; апериодическое (инерционное) с постоянной времени .

Передаточная функция САУ будет иметь вид:

.

Ответ:

Задача 6

Определить постоянную времени апериодического звена с коэффициентом передачи , если частота среза его ЛАЧХ

Таблица 6

Варианты заданий к задаче 6

№ варианта	К	ωср	№ варианта	К	ωср