Практическая работа№ 1.
Гармоническим называют сигнал, описываемый синусоидальной функцией:
S(t) = Amsin(wt +j), (1)
где Am амплитудное значение сигнала, w = 2pF - круговая частота, выражаемая в радианах, F = 1/T - частота сигнала, Т - период следования, j - начальная фаза сигнала.
Гармонический сигнал характерен тем, что он длится на неограниченном интервале времени и не может быть разложен на элементарные составляющие.
Известно, что любой сложный периодический сигнал может быть представлен в виде суммы элементарных гармонических сигналов с помощью рядов Фурье. Это возможно, если функция, описывающая сигнал, отвечает условиям Дирихле: Функция непрерывна на отрезке разложения;
В пределах периода T функция имеет конечное число максимумов и минимумов.
Пусть сигнал описывается функцией S(t), которая имеет частоту w = 2pF. Применяя разложение в ряд Фурье, получим:
, (2)
где k = 1,2.3,... и т.д. - номера гармоник, а амплитуды разложения: ао, аки bкопределяются из выражений:
,
,
.
Понятие спектра:
Помимо формы (2) функцию S(t) можно представить в виде:
, (3)
где: амплитуда A k и начальная фаза jk определяются из выражений:
Таким образом, периодическую функцию S(t) можно представить в виде суммы слагаемых, каждое из которых является синусоидальным колебанием с амплитудой A k и начальной фазой jk.
Каждая составляющая сигнала с частотой kw называется гармоникой. Колебание с частотой w называется первой гармоникой, с частотой 2w - второй гармоникой и т.п.
Совокупность амплитуд гармонических составляющих, представленная как функция частоты называется амплитудным спектром сигнала (спектром амплитуд). Аналогично, совокупность значений jk гармоник сигнала, представленная на интервале 0-360 град., называется спектром фаз.
Совокупность A k и jk полностью определяют частотный спектр сигнала.
Спектр амплитуд и спектр фаз для периодического сигнала называют линейчатыми, так как они состоят из отдельных составляющих. Например, для периодического сигнала прямоугольной формы, показанного на рис.1,а спектр амплитуд имеет вид, показанный на рис.1,б.
Рисунок 1
При уменьшении частоты периодического сигнала число гармонических составляющих в его спектре будет соответственно возрастать, стремясь в пределе к бесконечности. Такой спектр называется сплошным и получить его можно, используя не ряд, а интеграл Фурье. Для одиночного прямоугольного импульса имеем спектр, показанный на рис. 2,б.
Рисунок 2
В любой системе электросвязи физическим носителем информации является сигнал, представляющий собой электромагнитное колебание. При этом, управляя при передаче изменением модуляционных параметров сигнала во времени, можно формировать необходимое сообщение. На приемной стороне принятый сигнал может рассматривать как совокупность его мгновенных значений на временном интервале приема сообщения.
Известно, что практически любой сигнал s(t) может быть представлен как сумма элементарных колебаний ri(t), умноженных насоответствующим образом подобранные коэффициентысi
(1)
Система функцийri(t) носит название базисной системы, а представление сигнала в виде (1) называют разложением сигнала по сумме базисных функций. Совокупность значений сiназывается спектром сигнала в выбранной системе базисных функций.
Выбор системы базисных функций для спектрального представления сигналов определяется как объемом априорных знаний об анализируемом сигнале (наличии в нем периодичности, гармоничности и т. д.), так и удобствами практической реализации спектрального анализатора.
Для спектрального анализа связных сигналов, имеющих по своей природе характер гармонических колебательных процессов, чаще всего используются различные системы тригонометрических базисных функций, и среди них важнейшее место занимает система, основанная на разложении сигнала в ряд Фурье.
Математически преобразование Фурье для непрерывной функции х(t)определяется следующим образом
где ω = 2лf, f - частота,
При этом обратное преобразование Фурье может быть записано в форме
Спектром дискретного сигнала x(nT)в базисе Фурье называют комплексную функцию
Очевидно, что расчет спектра по этому выражению требует бесконечного во времени сигнала, что недостижимо при решении практических задач. Обычно имеется только ограниченное число выборок исходного сигнала, по которым и производится оценка его спектра, или, другими словами, осуществляется спектральный анализ. В этом случае под оценкой спектра понимают оценку спектральной плотности сигнала, вкладывая в понятие плотности распределение энергетических и фазовых составляющих ограниченной временной последовательности сигнала по оси частот.
Рассмотрим пример нахождения оценки комплексной спектральной плотности X(jω) дискретного сигнала в произвольной точке f оси частот. Пусть
где
- модуль спектральной плотности
и φ(ω) =arctg(Ss(ω)/Sc(ω)) - фаза исходного сигнала х(пТ) на угловой частоте ω = 2πf.
Допустим, что сигнал x(nT) ограничен по времени, т. е. он является последовательностью из N отсчетов, взятых с частотой дискретизации fd = 1/Тна интервале от 0 до (N-1)T.
Тогда коэффициенты Ss(ω) иSc(ω) могут быть найдены из следующих выражений
Отметим, что существует ряд рекурсивных методов вычисления коэффициентов Ss(ω) и Sc(ω). Однако наиболее важным при цифровой обработке сигналов является случай, когда необходимо проводить спектральный анализ сигнала не на одной отдельно взятой частоте, а во всей полосе занимаемых им частот.
В этом случае результат дискретного преобразования Фурье (ДПФ) сигнала может быть представлен в виде совокупности значений X(fk) в определенных точках
fk = k/NT, k = 0,…, N-1
(2)
Обратное преобразование для (2) задается в виде (3)
(3)
В виду того, что выражение (2) является линейным преобразованием совокупности значений x(nT), ДПФ имеет вид
(4)
где:
WN - матрица размера NхNс элементами WNnk =e-jn2πk/N, n, k = 0,., N-l.
Вычисление ДПФ непосредственно по формуле (2) требует проведения N2 операций умножения и N(N - 1) операций сложения комплексных чисел. С целью сокращения вычислительных затрат при проведении спектрального анализа разработан ряд алгоритмов, получивших общее название быстрых преобразование Фурье (БПФ).