Построение математической модели ЭС

Практическими задачами экономико-математического моделирования являются:

• анализ экономических объектов и процессов;

• прогнозирование экономических процессов;

• выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной деятельности.

Этапы экономико-математического моделирования:

1. Постановка экономико-математической проблемы и ее качественный анализ.

2. Построение математической модели.

3. Аналитический анализ модели.

4. Численное решение.

5. Анализ результатов.

Построение математической модели ЭС

Эволюцию (изменение) состояния экономической системы можно описать с помощью математических формул и зависимостей, совокупность которых образует математическую (экономико-математическую) модель системы.

Под экономико-математической моделью понимается математическое описание исследуемого экономического объекта или процесса в абстрактном виде с помощью математических соотношений.

Основные принципы составления модели сводятся к следующим двум правилам:

1. При формировании модели необходимо достаточно широко охватить моделируемое явление. В противном случае модель не будет отражать суть дела

(модель получается громоздкой и сложной)

2. Модель должна быть настолько проста, насколько это возможно. Модель должна быть такова, чтобы ее можно было оценить, проверить и понять, а результаты, полученные из модели должны быть ясны как ее создателю, так и лицу, принимающему решение

Способы составления мат. моделей:

· аналитический метод,

· идентификационный метод

Общие требования к математическим моделям:

· адекватность (соответствие модели своему оригиналу),

· объективность (соответствие научных выводов реальным условиям),

· простота (не «засоренность» модели второстепенными факторами),

· чувствительность (способность модели реагировать на изменение начальных параметров),

· устойчивость (малому возмущению исходных данных должно соответствовать малое изменение решения задачи),

· универсальность (широта области применения).

Практическое значение модель приобретает тогда, когда ее изучение имеющимися средствами более доступно, чем изучение самого объекта.

Для построения математической модели конкретной экономической задачи (проблемы) рекомендуется выполнение следующей последовательности работ:

1. определение известных и неизвестных величин, а также существующих условий и предпосылок (что дано и что требуется найти?);

Известные величины задачи относительно ее математической модели считаются внешними (заданными априори, т. е. до построения модели). В экономической литературе их называют экзогенными переменными;

Значения же изначально неизвестных переменных вычисляются в результате исследования модели, поэтому по отношению к модели они считаются внутренними. В экономической литературе их называют эндогенными переменными

2. выявление важнейших факторов проблемы, играющих существенную роль в самой задаче и, которые так или иначе влияют на конечный результат;

3. выявление управляемых и неуправляемых параметров;

4. математическое описание посредством уравнений, неравенств, функций и иных отношений взаимосвязей между элементами модели (параметрами, переменными), исходя из содержания рассматриваемой задачи.

Рис. 1. Схема экономико-математической модели объекта

Технология экономико-математического моделирования:

1. изучение предметной области и определение цели исследования;

2. формулировка проблемы;

3. сбор данных (статистических, экспертных и прочих);

4. построение математической модели;

5. выбор (или разработка) вычислительного метода и построение алгоритма решения задачи;

6. программирование алгоритма и отладка программы;

7. проверка качества модели на контрольном примере;

8. внедрение результатов на практике.

а) Выбор производственной программы фирмы

Фирма выпускает видов продукции и использует при этом ресурсов, например оборудование, рабочую силу, сырье и т.д. Известны объемы соответствующих ресурсов на год. Известна технологическая матрица , где – затраты i -го ресурса на производство единицы j -го вида продукции. Известна цена за единицу продукции . Сформировать производственную программу, чтобы получить максимальный доход от продажи продукции?

Решение. Построим математическую модель данной экономической ситуации. Для этого введем в рассмотрение управляющие переменные, определяющие выпуск фирмы , составим целевую функцию и ограничения задачи.

Целевая функция имеет вид

,

в) Бизнесмен открыл счет в банке, положив на счет сумму S ₀ под определенный банковский процент r. Необходимо составить уравнение, описывающее изменение суммы на счету бизнесмена от цикла к циклу.

Решение. Банк устанавливает свой процент прироста суммы r и длительность цикла Т, по истечении которого сумма на счету должна быть увеличена. Обычно в банках время Т = 1 год, хотя длительность цикла может быть другой, например, Т = 1 квартал. Сумма на счету бизнесмена в конце первого цикла будет равна

S ₁ = S ₀ (1 + r),

где r > 0 банковский процент, например r ₁ = 0,15, что означает 15% годовых (или квартальных).

По истечении второго цикла сумма будет равна

S ₂ = S ₁ (1 + r),

по истечении третьего цикла сумма составит

S ₃ = S ₂ (1 + r),

и т.д., на произвольном цикле

S_i = S_{i -1} (1 + r). (1)

Для вычисления суммы S_i по этому уравнению, надо применить уравнение (1) i раз.

Тогда сумма на счету в конце i- ого цикла составит:

S_i = S_{i -1} (1 + r) = S_{i - 2} (1 + r)² = S_{i - 3} (1 + r)³ = ¼

= S ₀ (1 + r) ⁱ = k_cл S ₀, (2)

где k_сл = (1 + r)ⁱ - сложный банковский процент.