Основная лемма Дарбу.
= 
= 
Док-во
1) f=c => ∀ p 
(f)= 
(f)=c*(b-a)
2) f≠c => m<M.
Пусть ∀ ε>0 ∃ 
: (f)- 
< ε/2; -разбиение [a,b] на L-точек включая a,b.
δ=ε/2L(M-m) => ( (f)- 
(f))< ε/2; ( (f)- 
< ε/2;
(f)- =( (f)- (f))+( (f)- )< ε/2+ ε/2< ε.
Основная теорема (критерий интегрируемости).
Пусть f опр. На [a,b]. След. 3 условия попарно эквивалент:
1) f интегр. На [a,b];
2) ∀ ε>0 ∃ p: - 
< ε;
3) 
= = 
.
Теорема об интегрируемости по Риману непрерывной функции.
1) F непр на [a,b] => f ∈ ℛ [a,b]. (f-интегр на [a,b])
2) F интегр ó f непр.
Теорема об интегрируемости монотонной функции.
1) F монотонна на [a,b] => f ∈ ℛ [a,b].
2) F интегр ó f монотонна.
Теорема. F-огр. на [a,b] и ∀ ε>0 ∃ конечно число интервалов, покрывающих все точки
разрыва f и имеющих суммарную длину <ε => f ∈ ℛ [a,b].
Следствие 1. Если f имеет конечное число точек разрыва => f ∈ ℛ [a,b].
Следствие 2. Если f ∈ ℛ [a,b], а g опр. На [a,b] и f(x)=g(x) во всех точках [a,b]=>g∈ ℛ [a,b]
= 
.
Линейность интеграла.
Пусть f,g ∈ ℛ [a,b] λ∈R => f+g, f *λ ∈ ℛ [a,b]; 
= + 
= λ 
Док-во 
(f+g, 
)= (f, )+ (g, ); (
*f, )= 
* (f, );
Аддитивность интеграла относительно пределов интегрирования.
Пусть a<b<c. Функция f интегрируема на отрезке [a,c], тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков [a,b] и [b,c], при этом
= 
Замечание f ∈ ℛ [a,b] => |f| ∈ ℛ [a,b], но f ∈ ℛ [a,b] < 
f ∈ ℛ [a,b].
Монотоность интеграла: f,g ∈ ℛ [a,b], ∀ x ∈ [a,b]: f(x)<=g(x) => <=
Интегрируемость произведения, частного и модуля.
f,g 
R[a,b]=>f*g,(f) и 1/f при |f(x)| 
d>0 R[a,b]
Замечание: из интегрируемости ф-ии вытекает интегрируемость модуля, но не наоборот.
Монотонность интеграла и оценка модуля интеграла.
f,g R[a,b], 
x 
[a,b] f(x) 
g(x), тогда 
.
Док-во: 
P 
(f, 
) 
(g, 
.
Следствие: Если f 
R[a,b] и x [a,b] f>0 => 
0.
Оценка модуля: f R[a,b]=> | 
| 
Д-во: |f| R[a,b],
-|f(x)| f(x) |f(x)|
-| 
| 
.
Первая теорема о среднем.
Пусть f,g ∈ ℛ [a,b], g(x)>=0 ∀ x ∈ [a,b] (либо g(x)<=0)
m=inf f(x), M=sup f(x) --> ∃ ϻ ∈ [m,M] 
= ϻ *
Замечание f непр. На [a,b] => ∃c ∈ [a,b] f(c) = ϻ
Непрерывность интеграла по верхнему пределу интегрирования.
Пусть f R[a,b],=> x [a,b] f R[a,x]
Обозначим (1) F(x)= 
,F(x) называют так же интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.
Теорема: f R[a,b]=>F определена равенством (1),непрерывна на [a,b].
Д-во:Пользуясь определением пред. Коши,рассмотрим приращение ф-ии.
x [a,b] |F(x+h)-F(x)|=| 
- |= 
| M|h|->0(M=supf(x)).
Т.е F(x+h)->(при h->0)F(x)=>F непрерывна в x.
Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу интегрирования.
f R[a,b], f непрерывна в т. 
[a,b]=> 
F’(
=f(.
Определения несобственных интегралов двух типов.
Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].
Абсолютная сходимость несобственного интеграла. Признаки мажорации и сравнения.
Критерий Коши(для док-ва): 
сходится ó 
>0 B [a,w):
и 
[B,w) вып. условие:
| 
| < 
.
Определение. абсолютно сход <=> 
сход.
Теорема 2.
Если абсолютно сход => 
сход. (критерий Коши)
Теорема 3.
Пусть ∀ x ∈ [a,w) f(x)>=0, тогда 
<=> F(t)= 
, где t∈ [a,w).
Признак мажорации
∀ x ∈ [a,w) 0<=f(x)<=g(x) и 
сход => 
сход. (теорема 3)
Док-во 0<=F(t) огран <=G(x) огран => 
сход.
Признак сравнения в предельной форм
Пусть ∀ x ∈ [a,w) f(x)>=0, g(x)>0.
=A, 0<A<+ 
=> 
и ведут себя одинаково.
Определение. Несобственный интеграл назыв. услов сход, если он сход, но не сход абсолютно.
Признаки Абеля и Дирихле.
Абеля:
1) 
сходится.
2) g монотонная и ограниченна на [a,w)=> сходится.
Дирихле:
1)F(t)= 
огранич.
2)g(x) монотонно стремится к 0 при x->w
=> сходится
Д-во: 
=g(
)* 