Сформулируйте определение подпоследовательности.

Ответы к коллоквиуму по математическому анализу

«Предел последовательности и предел функции»

Определения.

1.1. Последовательности

Сформулируйте определение бесконечно малой последовательности.

Последовательность { x_n } называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε можно указать номер N такой, что при n≥N все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству .

)

Сформулируйте определение ограниченной последовательности.

Последовательность { x_n } называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. если существуют числа a и b такие, что любой элемент x_n этой последовательности удовлетворяет неравенствам:

Если последовательность { x_n } ограничена a и b, то все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству , где с – максимальное из двух чисел и .

Сформулируйте определение последовательности ограниченной сверху.

Последовательность { x_n } называется ограниченной сверху, если существует такое вещественное число b, что каждый элемент x_n последовательности { x_n } удовлетворяет неравенству x_n≤b.

При этом число b называется верхней гранью последовательности { x_n }, а неравенство x_n≤b называется условием ограниченности последовательности сверху.

Точная верхняя грань:

Сформулируйте определение последовательности ограниченной снизу.

Последовательность { x_n } называется ограниченной снизу, если существует такое вещественное число a, что каждый элемент x_n последовательности { x_n } удовлетворяет неравенству x_n≥a.

При этом число a называется нижней гранью последовательности { x_n }, а неравенство x_n≥a называется условием ограниченности последовательности снизу.

Точная нижняя грань: a

Сформулируйте определение неограниченной последовательности.

Последовательность { x_n } называется неограниченной, если для любого положительного числа с найдется элемент x_n этой последовательности, удовлетворяющий неравенству

Сформулируйте определение бесконечно большой последовательности.

Последовательность { x_n } называется бесконечно большой, если для любого положительного числа М можно указать номер N такой, что при n≥N все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству .

Сформулируйте определение сходящейся последовательности.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Сформулируйте определение монотонной последовательности.

Невозрастающие и неубывающие последовательности называют монотонными последовательностями.

Сформулируйте определение предельной точки последовательности.

Число a называется предельной точкой последовательности { x_n }, если в любой -окрестности точки a содержится бесконечно много членов последовательности { x_n }

Сформулируйте определение подпоследовательности.

Пусть { x_n } – некоторая числовая последовательность. Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность целых положительных чисел k₁, k₂, …, k_n, … Отметим, что . Выберем из { x_n } члены с номерами k₁, k₂, …, k_n, …: . Полученная числовая последовательность называется подпоследовательностью последовательности { x_n }.