В гл. 1 было указано, что погрешность измерения содержит систематическую и случайную составляющие. Причем систематическая погрешность вызывает смещение результата измерений и является наиболее опасной, так как во многих случаях о ее существовании даже не подозревают. Систематические погрешности измерений на технологических процессах являются причиной неправильного управления объектами, неправильного учета и брака продукции.
Обнаружение систематических погрешностей измерений является одной из самых сложных задач метрологии. В том или ином виде ее приходится решать при подготовке и проведении технологических измерений.
Близость к нулю систематической погрешности определяется как правильность измерений. Исключение систематической погрешности из результатов измерений рассматривается как исправление этих результатов. Поэтому результаты наблюдений или измерений, содержащие неисключенную систематическую погрешность, называют неисправленными, а результаты, в которых систематическая погрешность исключена,— исправленными.
Общепринятыми методами обнаружения и исключения систематической погрешности являются следующие: устранение источников погрешности до начала измерений, использование дополнительных измерений, внесение поправок в результаты измерений, оценка границ систематических погрешностей в случае невозможности их исключения, использование специальных методов измерения. Последние из перечисленных методов определяют одно из перспективных направлений измерительной техники (см. § 3.8).
Устранение источников систематических погрешностей до начала измерений является одним из наиболее радикальных путей, так как позволяет полностью или частично освободиться от необходимости применения других из названных выше способов, а также ускорить процесс измерения.
Под устранением источника погрешностей принимают удаление источников теплоты, вибрации, электромагнитных полей и других от средств измерений или защиту последних от указанных источников, если по условиям применения средств измерений они не могут быть удалены от источников погрешности.
Надежным средством обнаружения систематических погрешностей является использование дополнительных измерений, а именно: измерения, основанного на ином методе или принципе; измерения, выполняемого с помощью второго средства измерения, аналогичного основному или иного по принципу действия; измерения, выполненного с помощью более точного средства измерений.
Исключение систематической погрешности из результата измерений осуществляется путем применения поправок или поправочных множителей.
В первом, наиболее распространенном случае осуществляется алгебраическое сложение результата измерения и поправки. Под поправкой при этом понимают систематическую погрешность, взятую с обратным знаком.
Во втором случае результат измерения умножают на поправочный множитель, который может быть больше или меньше единицы. Поправочный множитель обычно применяется тогда, когда систематическая погрешность является мультипликативной.
В обоих случаях высокая точность результата достигается при условиях, что поправка мала по сравнению с измеренным значением или поправочный множитель близок к единице. Само значение поправок и поправочных множителей находят указанными выше путями, а также путем поверки средств измерений. Поправки для учета влияния тех или иных влияющих величин, при известных функциях влияния, определяют на основе вспомогательных измерений этих величин.
В некоторых случаях исключить систематическую погрешность из результата измерения оказывается нецелесообразным из-за технической сложности. В этих случаях по известному значению систематической погрешности средства измерений оценивается погрешность выполненного измерения. Оценка границ систематической погрешности осуществляется обычно и при внесении поправок.
Систематическая погрешность, остающаяся после введения поправок, включает в себя ряд элементарных составляющих, называемых неисключенными остатками систематической погрешности. Они связаны в основном с погрешностью определения поправок и погрешностью, зависящей от точности измерения влияющих величин, входящих в функцию влияния.
Для определения границ неисключенной систематической погрешности результата измерения часто предполагается, что неисключенные остатки систематической погрешности являются случайными величинами, распределенными по равномерному закону (см. рис. 1.9, а). На этом основании границу 
неисключенной систематической погрешности определяют по формуле
, (3.2)
где 
— граница k-й неисключенной систематической погрешности; r — коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью, равный 1,1 при доверительной вероятности 0,95; l — общее число неисключенных остатков систематических погрешностей.
Все рассмотренные общие способы обнаружения и устранения систематических погрешностей в той или иной степени находят применение при проведении технологических измерений.
При получении измерительной информации о технологических параметрах с помощью систем автоматического контроля, как правило, заранее предусматриваются и осуществляются мероприятия по устранению источников систематических погрешностей или защите от них средств измерений. Если имеются сомнения в показаниях каких-либо средств измерений, то применяют дополнительные измерения, осуществляемые с использованием иных методов, принципов и средств измерений, чем основные, а также с целью контроля выполняются параллельные измерения с помощью более точных средств измерений.
Введение поправок, оценка границ неисключенной систематической погрешности и специальные высокоточные методы измерений применяются при контроле средствами технологических измерений качества, расхода и количества сырья, промежуточных и конечных продуктов, а также при создании математических моделей химико-технологических процессов.
§ 3.4. Оценивание результата и погрешности прямых измерений с многократными наблюдениями
Рассмотренные в § 1.4 характеристики случайной величины справедливы только при бесконечно большом числе наблюдений, т. е. они, в сущности, являются теоретическими. На практике число наблюдений, выполняемых при проведении измерительных экспериментов, ограничено и редко превосходит 20 — 30. Поэтому для обработки результатов измерительных экспериментов используют математическую статистику. В общем случае для выявления закономерностей, отражающих поведение случайной величины при ограниченном числе наблюдений, в математической статистике также решается задача определения закона распределения. Однако выявляемые при этом закономерности содержат элемент случайности. Статистический материал может только с большим или меньшим правдоподобием подтверждать или не подтверждать справедливость того или иного предположения (задача проверки правдоподобия гипотез). Чаще при обработке результатов наблюдений при измерении физических величин не возникает вопрос об определении закона распределения. Обычно это бывает связано с малым числом наблюдений (например, при 3 — 5 наблюдениях) или априорным утверждением о том, что закон распределения случайной величины является нормальным. Последнее утверждение, как показывает практика обработки результатов измерительных экспериментов, оказывается в подавляющем большинстве случаев оправданным. В этих случаях решается более узкая задача, состоящая в определении указанных числовых параметров М[Х] и 
. Поскольку на основе ограниченного статистического материала можно найти только приближенные значения М[Х] и , их называют оценками параметров функции распределения случайной величины, а так как они выражаются одним числом, их называют также точечными оценками. Оценкой математического ожидания служит среднее арифметическое:
. (3.3)
Для оценки среднеквадратического отклонения используется формула
. (3.4)
Оценку S приписывают каждому из n результатов наблюдений и называют погрешностью единичного измерения, стандартным отклонением или стандартом.
Таким образом, приведенные оценки являются случайными величинами. Если провести повторное измерение и по результатам его наблюдений вычислить 
и S, то их значения будут отличаться от прежних. Повторяя измерения и вычисляя по результатам их наблюдений и S или обрабатывая совместно наблюдения, полученные в предыдущих и последующих опытах, можно получить ряд значений и S, которые также подчиняются нормальному закону распределения. Для оценки рассеяния этих распределений используют понятие среднеквадратического отклонения среднего арифметического, которое используют в качестве оценки среднеквадратического отклонения результата измерения и определяют по формуле.
. (3.5)
Из формулы видно, что оценка среднего квадратического отклонения результата измерения в 
и раз меньше оценки среднеквадратического отклонения S результатов отдельных наблюдений.
Приведенные точечные оценки S, 
и рассмотренные понятия доверительного интервала и доверительной вероятности используются для определения интервальной оценки погрешности результата измерения. Причем для определения доверительного интервала при принятом или заданном значении доверительной вероятности PД, вместо нормального распределения, которое описывает поведение случайных величин при бесконечно большом числе наблюдений, используют распределение Стьюдента, или t-распределение (предложено английским статистиком Госсетом, публиковавшимся под псевдонимом «студент»), которое обеспечивает возможность определения доверительных интервалов при ограниченном числе измерений. Границы доверительного интервала при этом определяются по формуле
, (3.6)
где t — коэффициент распределения Стьюдента, зависящий от задаваемой доверительной вероятности PД и числа наблюдений n. Коэффициент t определяют по таблице (приложение 2) или рассчитывают по формуле, описывающей указанное распределение:
(3.7)
где 
- плотность распределения Стьюдента; k – величина, называемая степенью свободы и равная n-1.
Коэффициент t определяется дробью 
, которая называется дробью Стьюдента. При n 
(практически при n 
) распределение Стьюдента приближается к нормальному.
Как отмечалось в § 1.4, случайные погрешности, не связанные с действиями оператора, проводящего измерение, подразделяют на ожидаемые и грубые. Если в процессе измерений оператор обнаруживает, что результат одного или нескольких наблюдений резко отличается от остальных и определяет причину этого, то он должен отбросить этот результат (или результаты) и провести дополнительные наблюдения. Когда осущесвляется обработка уже имеющегося материала и нет возможности учесть все условия, при которых выполняется измерительный эксперимент, обнаружение грубых погрешностей осуществляется методами проверки статистических гипотез. Основная концепция этих методов состоит в том, что проверяется гипотеза, утверждающая, что результат i-го наблюдения Xi не содержит грубой погрешности, т. е. является одним из значений случайной величины Х с законом распределения Р(Х) (обычно нормальным), оценки параметров которого и S предварительно определены. Для обнаружения в соответствии с этими методами грубых погрешностей используется ряд критериев (критерий З , Шовине, Романовского, Гребса) [9, 10].
Последовательность обработки экспериментальных данных для наиболее простого и типичного случая приведена на рис. 3.1. В данном случае предполагается, что наблюдения, получаемые при измерении, являются равнорассеянными (равноточными), т. е. представляют собой независимые, одинаково распределенные величины (такие результаты наблюдений получаются при выполнении измерений одним оператором с помощью одних и тех же средств измерений); результаты наблюдений являются исправленными, т. е. из них исключены систематические погрешности; неисключенные систематические погрешности настолько малы, что ими можно пренебречь; из результатов наблюдений исключены промахи и грубые погрешности; число наблюдений не превосходит 15 (в этом случае признается и не проверяется их принадлежность нормальному распределению).
На рис. 3.1 в п. 8 вместо доверительных границ случайной погрешности yД записана суммарная погрешность измерения 
[см.(1.8)], так как в рассматриваемом случае систематическая погрешность q исключена, а неисключенная систематическая погрешность, описываемая выражением (3.2), мала. Если исключенной систематической погрешностью нельзя пренебречь, то общую погрешность измерения вычисляют по формуле [28]
, (3.8)
где 
— коэффициент, зависящий от случайной и неисключенной систематической погрешности; 
— оценка суммарного среднеквадратического отклонения результата измерения. Значения и вычисляют по формулам:
, (3.9)
. (3.10)
§ 3.5. Оценивание результата и погрешности косвенных измерений с многократными наблюдениями
Искомое значение физической величины Y и оценка погрешности при косвенных измерениях (см. § 1.2) определяются на основании результатов измерений m аргументов Х1, Х2,... Хj,..., Хm, связанных с искомой величиной уравнением
. (3.11)
Вид функции f должен быть известен из теоретических предпосылок или установлен экспериментально с погрешностью, которой можно пренебречь. Результаты измерений аргументов и оценки их погрешностей, как правило, получают путем проведения прямых измерений.
По виду функциональной зависимости (3.11) принято различать косвенные измерения с линейной и нелинейной зависимостями между измеряемой величиной и измеряемыми аргументами (или линейные и нелинейные косвенные измерения).
Обработка экспериментальных данных косвенных измерений базируется на использовании положений теории вероятностей и математической статистики [9, 10] о характеристиках функций случайных величин. В соответствии с этими положениями оценкой истинного значения физической величины Y, определяемой как функция случайных величин (аргументов), может служить ее значение 
, полученное после выполнения вычислительных операций со средними арифметическими значениями 
, 
,..., 
,..., 
аргументов в соответствии с этой функцией, т. е.
. (3.12)
При этом среднеквадратическое отклонение результата косвенного (линейного или нелинейного) измерения 
в случае, когда величины аргументы некоррелированы, т. е. не связаны между собой (наиболее важный для практики случай), определяют по формуле
(3.13)
где 
— оценка среднеквадратического отклонения результата измерения j-го аргумента, определяемого путем обработки результатов прямого измерения его в последовательности, изложенной в § 3.4; 
— частные погрешности косвенного измерения.
Частные производные 
принято называть коэффициентами влияния, а формулу (3.13) — формулой вероятностного, или статистического, суммирования.
Относительную оценку среднеквадратического отклонения результата косвенного измерения на основании (3.12) и (3.13) определяют по формуле
(3.14)
Так как
(3.15)
то (3.14) можно представить в виде
(3.16)
В выражениях (3.13)—(3.16) значения частных производных 
и 
вычисляют по значениям аргументов Х1, Х2,..., Хm соответственно равным , ,..., , т. е. по оценкам прямых измерений. Таким образом, эти величины определяют приближенно. В некоторых частных, но важных для практики случаях коэффициенты влияния могут быть определены точно. Рассмотрим эти случаи.
1. Функция 
является линейной, т.е.
, (3.17)
где а j — постоянные коэффициенты.
Коэффициенты влияния
, (3.18)
т. е. для абсолютных погрешностей коэффициенты влияния в данном случае равны коэффициентам перед переменными в линейной функции Еj=aj. С учетом (3.18) выражение (3.13) преобразуем к виду
. (3.19)
2. Функция – логарифмируема, т. е.
. (3.20)
В этом случае удобно использовать относительные погрешности. Из (3.15) получим
. (3.21)
Для частной относительной погрешности [см. выражение (3.16)] Получим
(3.22)
где 
— оценка относительного среднеквадратического отклонения результата измерения аргумента Хj.
Как видно из (3.22), коэффициенты влияния для относительных погрешностей оказываются в данном случае равными показателям степени соответствующих аргументов Wj=bj. Поэтому (3.16) можно представить в виде
. (3.23)
Если функция сложная, то для определения оценки среднеквадратического отклонения результата косвенного измерения в ней выделяют отдельные зависимости — фрагменты, которые принимают за новые переменные Z1, Z2,..., Zl, и для них вычисляют оценки среднеквадратических отклонений результатов измерений. Это позволяет свести названную функцию относительно новых переменных к рассмотренным линейной или логарифмируемой функции и определить оценки среднеквадратического результата косвенного измерения (см. приложение 4).
Для определения интервальной оценки погрешности результата косвенного измерения, когда результаты наблюдений, полученные в процессе прямых измерений величин — аргументов, имеют нормальный закон распределения, используют распределение Стьюдента.
Доверительную границу случайной погрешности результата косвенного измерения вычисляют по формуле
. (3.24)
В выражении (3.24) коэффициент Стьюдента определяется по таблице (см. приложение 2) для принятого или заданного значения доверительной вероятности и известного эффективного числа степеней свободы k эф, которое определяется по формуле
(3.25)
где nj наблюдений, выполненное при измерении j -го аргумента.
Последовательность обработки экспериментальных данных косвенных измерений с многократными наблюдениями для некоррелированных величин приведена на рис. 3.2. Эта последовательность предусматривает, что для аргументов, получаемых путем прямых измерений, справедливы все предположения изложенные в § 3.4. На рис. 3.2 в п. 10 записана погрешность ∆ вместо 
‚ так как предполагается что систематические погрешности полностью исключены. Число n указано, для того аргумента, при измерении которого выполнено наименьшее число наблюдений. Для случая, когда значениями неисключенных систематических погрешностей нельзя пренебречь, разработана методика оценки суммарной погрешности [29], близкая к ранее приведенной для прямого измерения с многократным наблюдениями.
При определении погрешности косвенного измерения важными являются установление частных погрешностей, которые в основном определяют погрешность косвенного измерения, и исключения из рассмотрения тех погрешностей которые не оказывают на общую погрешность почти никакого влияния. Определение последних связано с процедурой округления результата измерения и оценки погрешности.
Если в выражении (3.13) какая либо частная погрешность такова, что выполняется условие
(3.26)
то этой частной погрешностью можно пренебречь, так как при округлении уже число 1,0499 принимается за 1,0.
Из Выражения (3.26) можно получить формулу [9] для вычисления k-й частной погрешности:
. (3.27)
Это выражение называют критерием ничтожности погрешности. Погрешности, отвечающие этому критерию, называют ничтожными или ничтожно малыми, поэтому их не принимают во внимание при вычислении общей оценки погрешности косвенного измерения.
§3.6 Оценивание результатов и погрешностей совокупных и совместных измерений с многократными наблюдениями
При совокупных и совместных измерениях искомые величины находят из решения системы уравнений (1.7), которая связывает их с величинами, непосредственно измеряемыми. При этом измерения осуществляются так, что получаемое число уравнений превышает число искомых переменных. Для этого проводят многократные наблюдения одних и тех же физических величин в одинаковых или различных условиях (в зависимости от конкретной задачи). Результаты наблюдений для всех измеряемых в каждом эксперименте величин могут быть обработаны методами, изложенными, а затем их результаты могут быть сгруппированы в систему уравнений, из решения которой могут быть найдены m физических величин, определяемых совокупными или совместными измерениями. Оценка значений этих m величин и их погрешностей при этом можно найти так же, как и для косвенных измерений.
В настоящее время для обработки экспериментальных данных при выполнении совместных и совокупных измерений в большинстве случаев применяют метод Лежандра, называемый методом наименьших квадратов.
Сущность этого метода состоит в следующем. Если в систему уравнений (1.7), записанную для краткости в виде
(3.28)
подставить значения величин Х1, Х2,.... Хп, полученных как результаты наблюдений, то систему уравнений (3.28) можно преобразовать следующим образом:
(3.29)
Эта система содержит только искомые физические величины и постоянные коэффициенты. Число п равно общему числу наблюдений измеряемых величин Xi (в том числе результаты повторных наблюдений одной и той же величины). Из-за ограниченной точности измерений величин Xi при числе наблюдений n, существенно большем числа неизвестных m, не представляется возможным найти такие значения неизвестных Yi, при которых выполнялись бы все уравнения полученной системы. Поэтому задача сводится к нахождению искомых величин Yi их оценок 
, представляющих собой наилучшие приближения к истинным значениям. Уравнения (3.29) в отличие от обычных математических уравнений принято называть условными, так как подстановка в них найденных каким-либо путем значений оценок не обращает уравнение в нуль:
. (3.30)
Чтобы эти уравнения превратились в тождества, их следует записать в виде
. (3.31)
Величины vi принято называть невязками, или остаточными, погрешностями уравнений. Согласно методу наименьших квадратов, наилучшие оценки величин 
могут быть найдены в том случае, если функция W представляющая собой сумму квадратов остаточных погрешностей условных уравнений, будет минимальна:
(3.32)
Суть метода наименьших квадратов может быть уяснена при рассмотрении определения параметров а и b линейной зависимости 
. Пусть в результате экспериментальных исследований найдены пары значений xi и ji (рис. 3.3).
В соответствии с методом наименьших квадратов для прямой, наилучшим образом проходящей относительно всех n точек, полученных в результате экспериментальных исследований значения а и b должны быть выбраны такими, чтобы функция 
была минимальна.
Рассмотрим теперь последовательность обработки экспериментальных данных совокупных или совместных измерений для наиболее важного случая, когда в систему входят только линейные независимые уравнения:
(3.33)
где Xi (i =1, 2,..., n) — результаты наблюдений измеряемых физических величин; kij —известные коэффициенты; Yj (j =1, 2,..., m) — искомые физические величины. Результаты наблюдений величины Xi — исправлены, равнорассеяны, некоррелированы и подчиняются нормальному закону распределения. Систему можно записать в виде
(3.34)
Если коэффициенты kij в уравнениях определены с такой малой погрешностью, что по сравнению с погрешностями измерений величин Xi ими можно пренебречь, то уравнение считают точным.
Так как результаты наблюдений Xi содержат погрешность, то по аналогии с (3.31) для системы (3.34) запишем:
. (3.35)
Для каждой остаточной погрешности
. (3.36)
Тогда для суммы квадратов остаточных погрешностей имеем
. (3.37)
Для определения удовлетворяющих условию, находят все частные производные функции Ω по Yj, приравнивают их к нулю и получают тем самым новую систему из т уравнений:
, (3.38)
или
. (3.39)
Эта система является линейной относительно искомых величин . Ее называют системой нормальных уравнений. Число этих уравнений всегда разно числу неизвестных величин Yj. Для упрощения написания системы нормальных уравнений пользуются обозначениями Гаусса для сумм:
(3.40)
Для рассматриваемого случая система нормальных уравнений имеет вид:
(3.41)
Решение системы находят с помощью определителей для каждой из искомых величин:
, (3.42)
где
,
.
Определитель Dj получен заменой в определителе D j -го столбца столбцом свободных членов.
Получение оценок искомых величин связано с большим объемом вычислений. Причем объем вычислений быстро увеличивается с увеличением числа условных уравнений. Последнее необходимо для увеличения точности получаемых оценок.
В настоящее время обработка результатов совокупных и совместных измерений осуществляется с помощью электронных цифровых вычислительных машин, что позволяет использовать для получения оценок несколько десятков или даже сотен условных уравнений.
Оценку среднеквадратического отклонения результата измерения величины Yj определяют по формуле
, (3.43)
где Djj — алгебраическое дополнение определителя D, получаемое путем удаления из него j-й строки и j-го столбца; S2 — оценка дисперсии условных уравнений.
Для определения S2 используют формулу
. (3.44)
Доверительные интервалы для истинных значений всех измеряемых величин получают на основе распределения Стьюдента при числе степеней свободы, равном п-т.
Если при совокупных или совместных измерениях условные уравнения нелинейны, то применяют их линеаризацию.
§ 3.7. Результаты и погрешности измерений с однократными наблюдениями
Технологические измерения с однократными наблюдениями осуществляются с помощью систем автоматического контроля и имеют наиболее широкое применение в химико-технологических процессах. Для этих измерений при проектировании систем автоматического контроля практически полностью исключены методические погрешности, а личные сведены к минимуму. Таким образом, всеми погрешностями, кроме инструментальных, можно пренебречь, поэтому анализ составляющих погрешностей для таких измерений не проводится.
Прямые измерения. Результат прямого измерения записывают в виде
, (3.45)
где 
— значение физической величины (оценка), найденное по шкале измерительного прибора: 
— абсолютная погрешность для найденного значения, определяемая классом точности средства измерений.
При оценке значения физической величины по шкале измерительного прибора необходимо учитывать тот факт, что число делений шкалы согласовано с классом точности измерительного прибора в соответствии с формулой (2.4). Поэтому нецелесообразно пытаться на глаз оценить доли деления и приводить их в результате измерения. Кроме того, при определении долей деления на глаз операторы допускают систематическую ошибку, доходящую до 0,2 деления.
По указанным причинам значение измеряемой величины должно быть считано по шкале с погрешностью в половину деления. При этом необходимо пользоваться правилами округления:
если указатель располагается середине деления (рис. 3.4,а), слева (рис. 3.4, б) или справа (рис. 3.4, б) от нее, то в значении измеряемой величины указывается половина деления;
если указатель располагается вблизи отметки шкалы справа (рис. 3.4, г) или слева (рис. 3.4, д) от нее, то результат округляется до значения, соответствующего этой отметке.
Результаты, полученные с помощью однократных измерений, записывают выражениями вида (3.45) и в тех случаях, когда в показания используемого средства измерений необходимо вносить поправки [см. § 3.3]. В практике технологических измерений поправки обычно вносят в показания образцовых средств измерений. Только после внесения поправок, учитывающих систематическую погрешность указанных средств измерений и дополнительные погрешности от влияющих величин, погрешность в выражении (3.45) будет определяться классом точности образцового средства измерения.
При определении погрешностей измерений, выполняемых с помощью рабочих средств измерений, обычно вычисляют абсолютную и относительную погрешности. Первая нужна для определения результата и правильности записи, вторая — для сравнения его по точности с результатами других возможных измерений той же физической величины. Расчет абсолютной и относительной погрешностей осуществляется по паспортным данным средств измерений в зависимости от формулы, принятой для нормирования его класса точности.
Если погрешность средств измерений нормируется формулой (2.34), а за нормирующее значение принят диапазон измерений (например, диапазон измерений по входу Хв-Хн), то для приведенной погрешности
; (3.46)
здесь b — паспортное значение класса точности средства измерений.
Абсолютная и относительная погрешности для результата измерения X с учетом (3.46) определяются соответственно выражениями:
, (3.47)
, (3.48)
— относительная погрешность для найденного значения Х физической величины.
При ХН=0 выражение (3.48) приобретает вид
. (3.49)
Если погрешность средства измерений нормируется формулой (2.33) и в паспорте его указано значение класса точности, равное с, то абсолютная и относительная погрешности определяются соответственно выражениями:
, (3.50)
. (3.51)
Косвенные измерения. Оценка результата косвенного измерения определяется на основе оценок аргументов, определяемых путем прямых измерений с однократными наблюдениями:
. (3.52)
Результат косвенного измерения записывают в виде
, (3.53)
где D — оценка погрешности косвенного измерения.
При определении оценок погрешностей косвенных измерений считают, что погрешности измерений аргументов являются случайными величинами, имеющими равномерный закон распределения. На этом основании предварительно находят абсолютные 
погрешности величин—аргументов по формуле (3.47) или (3.50), а затем, используя формулу вероятностного суммирования (3.13), определяют значение указанной оценки [10]:
. (3.54)
Относительную погрешность косвенных измерений вычисляют по формуле [10]:
. (3.55)
Предварительно определив относительные погрешности 
величин-аргументов по уравнениям (3.48) или (3.51).
Совокупные и совместные измерения. Оценки результатов и погрешностей совокупных и совместных измер