Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде трех составляющих:
- тренда (основной тенденции развития динамического ряда);
- циклических (периодических) колебаний, в том числе сезонных;
- случайных колебаний.
Одной из задач, возникающих при анализе рядов динамики, является установление изменения уровней изучаемого явления. В некоторых случаях закономерность изменения уровней ряда динамики вполне ясна, например, либо систематическое снижение уровней ряда, либо их повышение. Однако очень часто уровни ряда претерпевают самые различные изменения (то возрастают, то убывают). В этом случае можно говорить лишь об общей тенденции развития: либо к росту, либо к снижению.
Выявление основной тенденции развития (тренда) в статистике называется выравниванием временного ряда, а методы выявления основной тенденции – методы выравнивания.
Непосредственное выделение тренда может быть произведено тремя методами.
1. Метод укрупнения интервалов. Этот метод основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд динамики ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.
2. Метод скользящей средней. В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал сглаживания может быть нечетным (3, 5, 7 и т.д. точек) и четным (2, 4, 6 и т.д. точек).
Расчет средних ведется способом скольжения, то есть постепенным исключением из принятого периода скольжения первого уровня и включение следующего. При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала. Формулы для расчета по скользящей средней выглядит, в частности, следующим образом.
Для трехчленной средней:
. (7.1)
Для пятичленной средней:
. (7.2)
Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда. Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной. Так, при сглаживании по трем точкам выровненное значение в начале ряда рассчитывается по формуле:
. (7.3)
Для последнего уровня с номером n расчет симметричен:
. (7.4)
Интервал скольжения можно брать четный (четыре, шесть и т.д.). Нахождение скользящей средней по четному числу членов осложняется тем, что средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами. Для ликвидации такого сдвига применяется центрирование, т.е. нахождение средней из средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. При центрировании необходимо также находить скользящие суммы, скользящие средние по эти суммам и средние из средних.
3. Аналитическое выравнивание. Аналитическое выравнивание является наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития. При этом уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени: 
.
Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической зависимости f(t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции.
В экономике часто применяется функция вида:
. (7.5)
Из функции вида (3.12) чаще всего при выравнивании используется линейная зависимость 
или параболическая 
.
Коэффициенты 
в формуле (7.5) находятся методом наименьших квадратов, сущность которого нам известна из регрессивного анализа.
Согласно этому методу для нахождения параметров полинома р- ой степени необходимо решить систему так называемых нормальных уравнений.
Система нормальных уравнений для оценивания параметров прямой 
примет вид:
(7.6)
где n – число членов в ряду динамики; t= 1, 2, …
Для параболы второго порядка 
система нормальных уравнений имеет следующий вид:
. (7.7)
Решение системы (2.13) относительно искомых параметров имеет вид:
.
Тренд показывает, как воздействуют систематические факторы на уровень ряда динамики. Колеблемость уровней около тренда служит мерой воздействия остаточных (случайных) факторов. Эту меру воздействия можно оценить по формуле среднего квадратичного отклонения:
, (7.8)
где Y – исходные уровни ряда динамики;
– выровненные уровни ряда динамики.
Относительной мерой колеблемости является коэффициент вариации, который вычисляется по формуле:
(7.9)
При анализе рядов динамики важное значение имеет выявление сезонных колебаний. Этим колебаниям свойственны более или менее устойчивые изменения уровней ряда по внутригодовым периодам: месяцам, кварталам. Для выявления сезонных колебаний обычно анализируются месячные и квартальные уровни ряда динамики за год или несколько лет.
Для измерения сезонных колебаний статистикой предложены различные методы. Наиболее часто употребляемые из них:
а) метод абсолютных разностей;
б) метод относительных разностей;
в) построение индексов сезонности.
Первые два способа предполагают нахождение разностей фактических уровней и уровней, найденных при выявлении основной тенденции развития. Применяя способ абсолютных разностей, оперируют непосредственно размерами этих разностей, а при использовании метода относительных разностей определяют отношение абсолютных размеров указанных разностей к выровненному уровню. С целью выявления выявления особенностей динамического ряда в зависимости от сезона (квартала, месяца и т.п.) необходимо использовать) информацию, как минимум, за три года. Дело в том, что сезонные колебания смешиваются со случайными и чтобы исключить подобное влияние на изменение динамического ряда берут средние уровней ряда за несколько лет (например, среднюю за январь, среднюю за февраль и т.д.; среднюю за 1-ый квартал, среднюю за 2-й квартал и т.д.).
Для выделения сезонной волны по методу абсолютных разностей определяют абсолютное отклонение средних уровней по сезонам (кварталам, месяцам и т.п.) от общей средней 
. Метод относительных разностей является развитием метода абсолютных разностей. Для нахождения относительных разностей абсолютные отклонения делят на общую среднюю и выражают в процентах.
Вместо относительных разностей за каждый сезон (квартал, месяц и т.п.) может быть вычислен индекс сезонности, который рассчитывается как от ношение среднего уровня соответствующего сезона к общей средней:
.
В этом случае сумма индексов сезонности будет равна 
. Если у на поквартальные данные, то 
, если данные помесячные, то 
.
Если же в ряду дин, в котором предполагается рассчитать индексы сезонности, наблюдается основная тенденция, то для ее выявления используют либо метод скользящей средней, либо аналитическое выравнивание. И только затем приступают к расчету индексов сезонности. В этом случае они могут быть рассчитаны также как отношение фактического уровня соответствующего месяца к уровню, рассчитанному по методу скользящей средней или же по определенному уравнению тренда.
Выделение сезонной волны можно выполнить на основе построения аналитической модели проявления сезонных колебаний. Ее построение позволяет выявить основной закон колеблемости данного временного ряда и дает среднюю характеристику внутригодичным колебаниям.
При исследовании явлений периодического типа в качестве аналитической формы развития во времени принимается уравнение следующего типа (ряд Фурье):
.
Величина k определяет гармонику ряда Фурье. Обычно используют k от 1 до 4. Для отыскания параметров уравнения регрессии используется метод наименьших квадратов:
,
где n – количество сезонов-периодов.
Если мы имеем поквартальные данные, то n=4, если помесячные n =12.
Найдя частные производные этой функции и приравняв их к нулю, получим систему нормальных уравнений, решение которых дает следующие формулы для вычисления параметров:
Сезоны-периоды представляются как части окружности. Тогда информацию о ряде динамики для двух гармоник Фурье:
| Сезоны (периоды) | t | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
|
| 
| 
|
| |
| +
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| |
 +
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| |
| …. | …. | …. | …. | … | … | …. | …. | ….. |
| n | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
После построения первой гармоники ряда Фурье следует проанализировать модель сезонности: достаточно или недостаточно использование первой гармоники для выравнивания ряда. Если недостаточно, то следует добавить вторую гармонику и т.д. Но следует помнить, что целесообразно построение моделей только до четырех гармоник. Достаточность проверяется, в частности, с помощью ошибки аппроксимации. Глубину сезонных колебаний измеряют индексами сезонности, которые представляют собой отношение средних из фактических уровней одноименных периодов к средней из выровненных данных по тем же периодам.
Обобщающим показателем силы колеблемости динамического ряда из-за сезонного характера производства служит среднее квадратическое отклонение индексов сезонности (в %) от 100%, т.е.
.
Сравнение средних квадратических отклонений, вычисленных за разные периоды, показывает сдвиги в сезонности. Например, уменьшение 
свидетельствует об уменьшении влияния сезонности на динамику анализируемого показателя.
Контрольные вопросы для подготовки лабораторной работы к защите
1. С какой целью анализируются данные рядов динамики?
2. Какие показатели применяются для характеристики изменений уровней ряда динамики?
3. Какой вид средних используется для расчета среднего уровня моментного ряда?
4. Охарактеризуйте роль графического представления временных рядов. Назовите наиболее распространенные виды трендовой компоненты.
5. Назовите виды колебаний уровней временного ряда.
6. Как может быть выявлена основная тенденция в изменениях уровней ряда динамики?
7. Назовите преимущества и роль аналитического выравнивания уровней временного ряда.
8. Как выполнить прогноз на будущее с помощью уравнения тренда?
9. Какие факторы влияют на величину средней квадратической ошибки уравнения тренда?
10. Как рассчитать скользящую среднюю и для каких целей она может быть использована?
11. Какие методы можно использовать для выявления сезонных колебаний?
12. Как рассчитать индексы сезонности и осуществить экстраполяцию с учетом сезонной составляющей?
13. Имеются данные об объеме розничного товарооборота по всем видам торговли в регионе по кварталам за 2010 – 2012 гг.
| Квартал | 2010 г. | 2011 г. | 2012 г. |
| I | |||
| II | |||
| III | |||
| IV | |||
| Итого |
Для анализа внутригодовой динамики продажи шерстяных тканей: а) определите индексы сезонности методом постоянной средней; б) изобразите графически сезонную волну развития изучаемого явления по месяцам года. Сделайте выводы.
1. Имеются следующие данные о среднем размере товарных запасов в универмаге по месяцам года (млн. руб.):
| 21,2 | 21,3 | 21,2 | 21,3 | 21,2 | 21,0 | 21,0 | 20,2 | 19,2 | 20,1 | 20,8 | 21,1 |
Произведите: а) сглаживание ряда товарных запасов универмага методом четырехзвенной скользящей средней; б) выравнивание ряда динамики по прямой. Изобразите графически фактические и выравненные уровни. Сделайте выводы о характере общей тенденции изучаемого явления.