Повторение независимых испытаний
Формула Бернулли
Проведение подряд 
опытов (испытаний), в каждом из которых событие А может осуществиться с вероятностью p, не зависящей от результатов предыдущих испытаний, называется повторением (схемой) независимых испытаний.
Вычислим вероятность 
события 
, состоящего в том, что в серии из опытов событие 
наступит 
раз. Событие заключается в одновременном (т.е. во время одной серии испытаний) осуществлении событий и 
событий 
(противоположных ). Это произведение 
может осуществиться различными способами.
Рассмотрим простой пример. Монету подбрасываем 4 раза, пусть событие – выпадение цифры (
= 0,5). Событие 
(цифра выпала 2 раза из 4-х) может произойти следующими способами:
Ц Ц Г Г; Ц Г Ц Г; Ц Г Г Ц; Г Г Ц Ц; Г Ц Ц Г; Г Ц Г Ц.
Число способов осуществить нужное нам событие совпадает с числом способов выбрать два места из четырех и равно числу сочетаний по два из четырех 
.
В общем случае, когда проводится опытов, число способов, когда событие наступает раз равно 
. Вероятность осуществления каждого способа равна 
, события, соответствующие разным способам, несовместны, поэтому вероятность того, что в серии из опытов событие произойдет раз, равна:
.
Полученная формула носит название формулы Бернулли. Она достаточно удобна при вычислении вероятностей при небольших и (калькулятор типа “Электроника МК 51” позволяет вычислить функцию 
при 
).
Пример. Перевозится партия из 10 деталей. Вероятность повреждения в пути отдельной детали = 0,2. Какова вероятность, что во время перевозки будет повреждено не более двух деталей?
В данном случае испытанием будет доставка отдельной детали, т.к. деталей 10, то = 10. Событие – повреждение отдельной детали. Интересующее нас событие 
– повреждение не более двух деталей – состоит либо в благополучной доставке всех деталей (0 деталей повреждено, = 0), либо в повреждении 1 детали ( = 1), либо в повреждении 2 деталей ( = 2). Значит,
;
.
В некоторых задачах бывает необходимо использовать формулу Бернулли несколько по-иному. Известна вероятность , с которой событие А может произойти в отдельном опыте, задается вероятность 
, с которой в серии из опытов событие А должно произойти не менее, чем 
раз. Нужно установить, каково должно быть число опытов для достижения нужной вероятности. В этом случае нужно, задаваясь различными значениями (начиная с ), вычислять вероятность искомого события по формуле 
до тех пор, пока величина 
не достигнет .
Пример. Вероятность p того, что отдельный саженец приживется при посадке, равна 0,8. Сколько нужно взять саженцев, чтобы с вероятностью не меньшей 0,85 прижились, по крайней мере, 5 саженцев?
Пусть число саженцев n = 5. Нас устраивает вариант, когда приживутся все 5. Вероятность этого 
. Как видно, она недостаточна. Возьмем n = 6. Походящим будет случай, когда приживутся или 5 из 6 саженцев, или все 6. Вероятность этого
.
Эта вероятность также меньше указанной в задаче. Возьмем n = 7. Благоприятным исходом будет, если приживутся или 5 из 7 саженцев, или 6 из 7, или все 7. Вероятность этого
Вероятности при заданных значениях n и p изменяются в зависимости от m. Число , при котором вероятность 
имеет наибольшее значение, называется наивероятнейшим числом наступлений события. Его можно определить из системы неравенств:
Преобразование данной системы приводит к двойному неравенству:
.
Пример 1. Вероятность изготовления изделия высшего сорта на данном предприятии равна 0,78. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 150 изделий?
Наивероятнейшее число изделий должно удовлетворять двойному неравенству: 
или 
. Целым числом, удовлетворяющим данному неравенству, будет = 117.
Пример 2. Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений тройки было равно 55?
В данной задаче p = 1/6 и должно выполняться неравенство
Это неравенство можно заменить системой:
4.2. Приближение формулы Бернулли при больших и
Вычисление вероятностей по формуле Бернулли, несложное при небольших и , весьма затруднено при больших и . В подобных случаях формулу Бернулли преобразуют, используя формулу Муавра-Стирлинга, пригодную для больших :
.
Пример. Установлено, что иммунитет против туберкулеза приобретается после прививки в 94 % случаев. Какова вероятность, что среди 100000 привитых граждан 5800 не защищены от болезни?
В этой задаче = 100000, = 5800, вероятность события А — отсутствие иммунитета = 1– 0,94 = 0,06. По формуле Бернулли нужно вычислить:
.
Поскольку вычисление факториалов в данной формуле весьма затруднительно, попробуем использовать приближение формулы Бернулли:
.
Однако и этой формулой бывает не всегда удобно пользоваться. Неудобство возникает, если нужно вычислить сумму большого числа вероятностей типа . Например, если нас будет интересовать вероятность события В, состоящего в том, что от болезни не защищены от 5800 до 6200 человек, то для определения нужной вероятности следует подсчитать сумму 400 слагаемых:
,
что, конечно, не вызывает восторга.
В подобных случаях пользуются еще одним приближением, полученным Муавром (локальная теорема Муавра):
.
Значения вероятности по этой формуле можно вычислить и непосредственно на калькуляторе, а можно и с помощью таблиц функции
согласно соотношению 
, где 
.
Для вычисления суммы вероятностей ее заменяют интегралом (интегральная теорема Муавра):
.
Для стоящей под интегралом функции первообразная не существует в аналитическом виде, поэтому пользуются табулированной (т.е. заданной в виде таблицы) функцией
.
Тогда 
, где
, 
.
Вычислим с помощью функции Ф (
) вероятность того, что после проведения вакцинации от 5800 до 6200 граждан останутся без иммунитета.
При вычислении использовано свойство: Ф (– ) = – Ф ().
4.3. Приближение формулы Бернулли при больших и малых и
Рассмотрим теперь случай когда – велико, а и – малы ( <<1, << ). При этих условиях формула Бернулли для удобства вычислений преобразуется следующим образом:
.
сокращая общие множители в ! и ( - )!.и также, положив 
, получим
Т.к. << , то множители в скобках можно принять равными 1, а используя предел 
заменить 
. Окончательно получим
.
Пример. В страховой компании застраховано 10000 клиентов, каждый из которых вносит в начале года 12 долларов. В случае смерти клиента (вероятность которой в течение года равна 0,006) компания выплачивает родственникам 1000 долларов. Какова вероятность, что фирма получит доход в размере 70000 долларов?
Считая, что доход – это разница между суммарным взносом в 120000 долларов и выплатами по случаю смерти, посчитываем, что нужный доход получится, если в течение года умрет 50 клиентов. Значит, = 10000, = 50 и вероятность этого 
.
Условия применимости формулы Бернулли
Поскольку схема повторения независимых испытаний (схема Бернулли) используется весьма часто, следует правильно определить круг задач, где она применима.
Во-первых, вероятность наступления события не должна меняться от опыта к опыту. Рассмотрим пример. В партии из 100 изделий имеется 10 бракованных. Наугад достаем 5 изделий, какова вероятность, что среди них 3 бракованных? Решение задачи зависит от того, каким способом отделяют 5 изделий.
Пусть это делается так. Достали первое изделие, отметили качество, положили в общую кучу и перемешали. Такой опыт повторили еще 4 раза. Тогда в каждом из них вероятность появления бракованного изделия одна и та же (10/100 = 0,1) и можно воспользоваться формулой Бернулли:
.
Описанный способ осуществления выборки называется схемой выборок с возвращением, к нему применима формула Бернулли.
Если же выбирать 5 изделий, по очереди откладывая их от общего количества (выборка без возвращения), то вероятность достать бракованное изделие будет меняться от опыта к опыту. В этом случае задачу решаем по формуле:
.
Следует заметить, что разница будет сильнее с уменьшением .
Во-вторых, следует внимательно подходить к использованию схемы Бернулли для описания работы системы, состоящей из нескольких частей (узлов, деталей, блоков и т.д.), в течение определенного промежутка времени 
. Например, прибор состоит из 5 узлов, вероятность выхода из строя каждого в течение времени 
равна . Если прибор выйдет из строя из-за поломки одного узла, то бессмысленно интересоваться вероятностью выхода из строя 2, 3, 4 или 5 узлов. Если же неисправный блок заменяется, то условия опыта (время работы) для разных узлов неодинаковы, значит, и вероятность выхода из строя у них будет разная. К тому же число испытаний (число узлов) будет зависеть от того, сколько уже узлов вышло из строя. Подобные ситуации правильнее будет описывать с помощью потока событий.