В стереометрии помимо обычных плоских

A¹

C¹

D¹

D

C

B

A

углов приходится иметь дело ещё с тремя ви­дами углов. Угол между скрещи-вающимися прямыми, по определению, равен углу между пе­ресекающимися прямыми, которые им парал­лельны. Угол между прямой а и плоскостью о. равен углу между прямой а и её проекцией а' на плоскость (рис. 10), а если прямая и пло­скость перпендикулярны, его принимают рав­ным 90°. Это наименьший из углов между пря­мой а и любой прямой в плоскости а. Угол между пересекающимися плоскостями измеря­ется углом между перпендикулярами, проведён­ными в этих плоскостях к линии их пересече­ния (рис. 13). Все названные углы принимают значения в промежутке от 0 до 90°.

Найдём, например, угол между диагоналями А¹В и В¹С граней нашего куба (рис. 14). Заме­ним прямую В¹С на параллельную ей диагональ A¹D противоположной грани; искомый угол равен углу BA¹D, т. е. 60° (треугольник BA¹D равносторонний). Угол между диагональю АС¹ и основанием куба равен углу САС¹ между прл* мой ас¹ и её проекцией АС на основание, т.е. arctg (C¹C/AC) = arctg (1/√2]. А угол между пло­скостями BDA¹ и BDC¹ (рис. 14) равен углу А¹МС¹, где М — середина BD, так как прямые МА¹ и МС¹ лежат в этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения BD (несложное вычисление даёт arccos (1/3)).

Расстоянием между двумя любыми фигура­ми называют наименьшую длину отрезка, концы которого принадлежат данным фигу­рам. Значит, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенно­го из точки на плоскость, — он короче любой наклонной, так как гипотенуза прямоугольно­го треугольника короче катета. Расстояние между параллельными плоскостями, очевидно, равно расстоянию от любой точки в одной из них до другой плоскости (рис. 15, а).

Более интересен вопрос о расстоянии между двумя скрещивающимися прямыми а и b. Проведём через прямую а плоскость α, параллельную прямой b (рис. 15, б), найдем точку пересечения А ортогональной проекции b¹ прямой b на α и точку В прямой b, которая проектируется в точку А. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости а и потому является общим перпендикуляром к прямым а и b. Его длина и

б

а

b

равна расстоянию между нашими скрещивающимися прямыми.

b¹

a

α

A

Вместо того чтобы вычислять расстояния и углы в пространстве, часто можно находить соответствующие величины на ортогональной проекции данной фигуры. На рис. 15 показаны.те интересные ортогональные проекции куба '„' ребром длины и: прямоугольник размером

а * а√2 (проекция на диагональную плоскость АСС¹А¹ или, что то же, вдоль диагонали BD ос­нования): и правильный шестиугольник со сто­роной а√2/3 (проекция вдоль диагонали куба АС¹; мы видели, что прямая АС¹ перпендику­лярна плоскости BDA¹, а потому правильный треугольник BDA, со стороной а√2 в такой проекции не искажается). С помощью первой проекции можно найти, например, угол между плоскостями BDA¹ и BDC¹ — он равен углу меж­ду красными прямыми, в которые проектиру­ются эти плоскости. А расстояние r между двумя скрещивающимися диагоналями граней BD и В¹С равно расстоянию на рис. 16, а от точки В до прямой В¹С (В и B¹C — изображения первой и второй диагоналей соответственно). Поду­майте почему. (Здесь важно, что общий перпендикуляр диагоналей параллелен плоскости про­екции.) Легко найти, что r= а/√3. Нетрудно вычислить на той же проекции и расстояние между прямыми BD и АС¹ Ещё проще найти его с помощью рис. 16, б, на котором АС¹ превра­щается в точку: расстояние от последней — центра шестиугольника — до BD равно половине стороны шестиугольника, т. е. а/√6.

б

B¹

B

A¹

D¹

C

D

A(=C¹)

а

r

B¹(=D¹)

B(=D)

A

C¹

C

A¹

Отметим интересное соотношение, связы­вающее площадь фигуры, площадь её проекции и угол между плоскостями:

· Площадь Sпр ортогональной проекцией многоугольника равна площади S многоугольника, умноженной на cos φ, где φ- угол между его плоскостью и плоскостью проекции:

φ

h

Это очевидно для треугольника, одна из сто­рон которого совпадает с линией пересечения двух плоскостей (рис. 17) или параллельна ей. А любой многоугольник можно разбить на та­кие треугольники. Приближая криволинейные фигуры многоу-гольниками, получим, что фор­мула площади проекции справедлива и для них.

V. Несколько задач на построение, вооброжение, изображение и соображение.

ЗАДАЧА 1.

По правилам черчения принято изображать пунктиром ребра многоугольника, расположенные на его обратной стороне. Некоторый многоугольник спереди и сверху выглядит одинаково, как показано на рис 18. Пунктиров на изображении нет- значит нет и невидимых ребер. Как предмет выглядит сбоку?

 

ЗАДАЧА 2.

?

E

D

F

C

A

B

Может ли рисунок 19 служить изображением многогранника с тремя четырехугольными гранями и двумя треугольными?

 

ЗАДАЧА 3.

На рисунке 20 изображена треугольная пирамида, в которой проведены два отрезка, соединяющие точку на противоположных ребрах. Можно ли по рисунку определить, пересекаются эти отрезки в пространстве или нет? А если можно, то как?

ОТВЕТЫ.

1.

2. Нет. Прямые AD, BE, CF должны пересекаться в одной точке.

?

3. Можно. Отрезки пересекаются (т.е. лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда либо точка пересечения синих прямых лежит на прямой АВ, либо они параллельны.