Раздел I. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Тема 1. Матрицы. Основные операции матричной алгебры. Обратная матрица. Определители. Ранг матрицы
1. Что называется матрицей? Какая матрица называется квадратной, диагональной, единичной, нулевой?
2. Как определяются линейные операции над матрицами?
3. Дать определение произведения матриц. Свойства операции умножения матриц.
4. Для каких матриц определено понятие «определитель матрицы»? Вычисление определителей второго, третьего порядков.
5. Что называется минором и алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы.
6. Что называется определителем n - го порядка? Основные свойства определителей.
7. Какая матрица называется обратной для данной матрицы? Для всякой ли матрицы существует обратная?
8. Сформулировать алгоритм нахождения обратной матрицы?
Тема 2. Системы линейных уравнений
1. Что называется решением системы m линейных уравнений с n неизвестными? Какая система называется совместной, несовместной, определенной, неопределенной?
2. Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными? В чем заключается матричный метод решения «квадратных» систем линейных уравнений? Формулы Крамера.
3. В чем заключается метод Гаусса? Какие системы можно решать этим методом?
Тема 3. Векторная алгебра
1. Что называется геометрическим вектором, модулем вектора? Как обозначается вектор?
2. Какие векторы называются равными, противоположными, коллинеарными, компланарными?
3. Как определяются линейные операции над векторами: сложение, умножение на число? Запишите свойства этих операций.
4. Что называется ортом вектора?
5. Дайте понятие прямоугольной декартовой системы координат. Разложение вектора по единичным векторам i, j, k.
6. Дайте определение скалярного произведения. Свойства скалярного произведения векторов.
7. Нахождение угла между двумя векторами.
8. Запишите необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов в координатной форме.
Тема 4. Элементы аналитической геометрии
1. Выведите общее уравнение прямой на плоскости.
2. Выведите каноническое уравнение прямой на плоскости; уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
3. Какие еще виды уравнений прямой на плоскости существуют? Укажите геометрический смысл коэффициентов этих уравнений.
4. Как найти точку пересечения двух прямых на плоскости.
5. Как определить взаимное расположение двух прямых на плоскости?
6. Общее уравнение плоскости в пространстве. Каков геометрический смысл коэффициентов общего уравнения плоскости?
7. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
8. Взаимное расположение плоскостей.
9. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
10. Перечислите кривые второго порядка, дайте их определения, запишите их канонические уравнения.
Раздел II. Математический анализ
Тема 1. Понятие множества. Операции над множествами. Понятие окрестности точки. Функциональная зависимость. Графики основных элементарных функций
1. Понятие множества. Операции над множествами. Примеры.
2. Дайте определение функции одной переменной. Какие существуют способы задания функции? Приведите примеры.
3. Дайте понятие области определения функции при аналитическом задании функции. Приведите примеры.
4. Перечислите основные элементарные функции, их основные свойства и графики.
Тема 2. Предел функции. Непрерывность функции в точке. Свойства числовых множеств и последовательностей
1. Дайте определение предела функции в точке. Приведите примеры.
2. Дайте определение бесконечно малой функции. Приведите примеры. Перечислите свойства бесконечно малых.
3. Какая функция называется бесконечно большой. Перечислите ее свойства.
4. Какая связь существует между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями?
5. Перечислите свойства пределов функций.
6. Дайте определение непрерывной функции в точке.
7. Сформулируйте правило исследования непрерывности функции в точке и на отрезке.
8. Какая точка называется точкой разрыва функции? Классификация точек разрыва функции.
9. Свойства непрерывных функций.
Тема 3. Производная и дифференциал функции. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
1. Дайте определение производной функции в точке. Каков геометрический и механический смысл производной?
2. Запишите основные правила нахождения производной.
3. Какая функция называется дифференцируемой. Всякая ли дифференцируемая функция непрерывна?
4. Дайте определение дифференциала функции. По какой формуле находится дифференциал?
5. Дайте понятие производной второго, третьего и n- порядка.