Лабораторная работа №3. Методы численного интегрирования.

Лабораторная работа №3

Методы численного интегрирования.

Цель работы

Ознакомление с принципом модульного программирования на примере задачи численного интегрирования Использование оболочки Q-basic для построения подпрограмм и головного модуля.

Основные теоретические положения.

Пусть на отрезке [a,b] задана функция f(x). С помощью точек x₀, x₁,x₂,..., x_n разобьем отрезок [a,b] на n элементарных отрезков [x_i-1,x_i] (i=1,2,...,n), причем x₀ =a, x_n=b. На каждом из этих отрезков выберем точку xi и найдем произведение s_i значения функции f(x_i) на длину элементарного отрезка Dx_i = x_i -x_i-1:

(1)

Cумма таких произведений: называется интегральной суммой.

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы при неограничен­ном увеличении числа точек разбиения. При этом длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, определенный интеграл удается вычислить непосредственно по формуле Ньютона-Лейбница. Она состоит в том, что определенный интеграл равен приращению первообразной F(x) на отрезке интегрирования. На практике этой формулой часто нельзя воспользоваться по двум основным причинам:

• Вид функции не допускает непосредственного интегрирования, т.е. первообразную нельзя выразить в элементарных функциях.
• Значения функции заданы f(x) заданы таблично (множество xi конечно).

В этих случаях используются методы численного интегрирования.

Важным частным случаем в методах численного интегрирования является тот, когда величина элементарного отрезка D xi - величина постоянная и может быть вынесена за знак интегральной суммы. Эта величина называется шагом интегрирования и обозначается обычно h.

1. Метод прямоугольников непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой. В качестве точек x _I могут выбираться левые (x_{i- 1}) или правые (x_i) границы элементарных отрезков. Обозначив y_i = f(x_i), расчетные формулы можно записать:

(при выборе левых границ)

(при выборе правых границ)

II. В методе трапеций график функции f(x) аппроксимируется ломаной, соединяющей точки с координатами (x_i, y_i).

Искомое значение определенного интеграла представляется в виде суммы площадей трапеций, построенных на каждом из элементарных отрезков:

 

 

Здесь y_o и y_n - значения функции f(a) и f(b) соответственно.

 

III.

f(xi+1)

f(xi)

В методе парабол (формула Симпсона) на каждом из элементарных отрезков, длиною 2*h, по трем известным значениям функции f(xi), f(x_i+1) и f(x_i+2) строится парабола, заданная уравнением ax²+bx+c.

Решая систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными a,b,c, получаем уравнение параболы, проходящей через заданные три точки xi, xi+1, xi+2

Далее площадь криволинейной трапеции на отрезке находится как: .

Просуммировав все площади криволинейных трапеций на отрезке , получим формулу:

Порядок выполнения работы

3.1 Получить у преподавателя вариант задания, включающий в себя подынтегральную функцию (F(X)), отрезок интегрирования (a,b), точность вычисления значения интеграла (eps)

3.2 Исследовать подынтегральную функцию на непрерывность и существование на заданном отрезке

3.3 Написать подпрограмму для каждого метода (прямоугольников, трапеции, парабол)

3.4 Написать головной модуль

3.5 Отладить программу и получит результаты

Содержание отчета

4.1 Содержательная постановка задачи

4.2 Исходные данные

4.3 Краткое описание метода. Блок схема. Листинг подпрограммы

4.4 Блок схема головного (или управляющего) модуля. Листинг

4.5 Распечатка полученных результатов

4.6 Сравнительный анализ полученных результатов разными методами.

Литература

5.1 Лекции по курсу «Информатика»

5.2 Г.Зельднер «Quick-basic для носорогов».Из-во «Март», Москва, 1996

5.3 Бахвалов С.А. «Численные методы математического анализа», т. 1, «Высшая школа», Москва, 1976

5.4 Демидович «Математический анализ для ВТУЗов»