Правило треугольника.
Для того чтобы сложить два вектора 
и 
нужно переместить вектор параллельно самому себе (рис.1, б) так, чтобы его начало (точка B на рис.1, а) совпадало с концом вектора 
(точка A на рис.1, а). Тогда их суммой будет вектор 
(рис.1, г), начало которого совпадает с началом вектора (точка D на рис.1, в), а конец - с концом вектора 
(точка C на рис.1, в).
а б
в г
Рис.1.
Правило параллелограмма.
Для того чтобы сложить два вектора и нужно переместить их параллельно самим себе так, чтобы начала векторов 
и находились в одной точке (рис.2, а). Затем построить параллелограмм, сторонами которого будут эти вектора (рис.2, б). Тогда их суммой будет вектор 
(рис.2, в), начало которого совпадает с общим началом векторов (точка A на рис.2, б), а конец - с противоположной вершиной параллелограмма (точка В на рис.2, б).
а
б в
Рис.2.
2. Напишите формулу разложения вектора по трем взаимно перпендикулярным осям координат.
3. Как определяется вектор через координаты его начала и конца?
Пусть известны координаты начала вектора А (x1, y1, z1) и его конца В (x2, y2, z2). Точки А и В определяют радиус вектора
|
и 
.
 |
рис. 3
Из треугольника ОАВ следует, что 
, отсюда 
.
Если обозначить через X, Y, Z - координаты вектора 
, т.е. = (X, Y, Z), то следует, что
X=х2-х1
Y=у2-у1
Z=z2-z1
Чтобы найти абсциссу вектора Х, необходимо из абсциссы конца вектора вычесть абсциссу начала вектора.
3. Какой вид имеет уравнение прямой в плоскости, проходящей через две точки?
4. Какой вид имеет уравнение прямой с угловым коэффициентом?
2 уровень
1. Напишите разложение вектора по трем взаимно перпендикулярным осям координат.
| Координаты вектора | X | -2 |
| Y | ||
| Z |
A (-2, 4,7) означает, что абсцисса точки A x=-2, ордината у=4, аппликата z=7.
2. Чему равно скалярное произведение векторов 
и 
? Данные для варианта взять из таблицы 2.3
Координаты вектора 
| X | -2 |
| Y | ||
| Z | ||
Координаты вектора 
| X | |
| Y | ||
| Z |
Т.к. векторы заданы в координатной форме, то по формуле
имеем:
3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых l1 и l2 и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный d.
| Уравнение прямой l1 | Уравнение прямой l2 | d | Координаты точки Р | |
| x | y | |||
| 3x-2y-7=0 | x+3y-6=0 |
Отсюда находим х = 6 - 3у
x = 3
Значит точка пересечения двух прямых A (3;1)
По условия отрезок равен 3, значит координата точки B (3; 0).
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки А и В.
Здесь знаменатель равен нулю. Полагаем числитель левой части равным нулю.
Получаем 
4. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок, равный d и проходящей параллельно прямой l1.
| Уравнение прямой l1 | Уравнение прямой l2 | d | Координаты точки Р | |
| x | y | |||
| 3x-2y-7=0 | x+3y-6=0 |
Найдем две точки прямой 3x-2y-7=0
Подставим в уравнение х=1 и х=3 и получим значения у соответственно - 2 и 1.
A (1; - 2) и B (3;1).
Координаты направляющего вектора 
найдём по координатам конца и начала вектора
Подставляя в формулу
координаты точки O (0;3)
И координаты вектора 
получим искомое уравнение прямой
или 
.
2 семестр 4 кредит 1 уровень.
1. Как определяются горизонтальные асимптоты функции?
В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при 
, она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота - частный случай наклонной асимптоты; прямая y = с = const является горизонтальной асимптотой графика y = f (x) при 
или 
, если
Или
соответственно.
2. Что такое частное приращение функции нескольких переменных?
Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных 
в точке 
частные производные определяются так:
,
,
если эти пределы существуют.
Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная 
- угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности и плоскости 
в соответствующей точке.
3. Каковы выражения для частных дифференциалов функции z=f (x,y)?
Частной производной по x функции z = f (x, y) в точке M 0 (x 0, y 0) называется предел 
,
если этот предел существует. Обозначается эта частная производная любым из следующих символов:
; 
; 
.
Частная производная по x есть обычная производная от функции z = f (x, y), рассматриваемой как функция только от переменной x при фиксированном значении переменной y.
Совершенно аналогично можно определить частную производную по y функции z = f (x, y) в точке M 0 (x 0, y 0):
= 
.
Приведем примеры вычисления частных производных/
4. Каково выражение для полного дифференциала функции u=u (x,y,z)?
Полный дифференциал du функции u = f (x,y,z) (если он существует) равен сумме всех ее частных дифференциалов:
5. Напишите частные производные третьего порядка для функции z=f (x,y,z).
2 уровень
1. Найти частную производную и частный дифференциал функции.
2. Вычислить значения частных производных f’x (M0), f’y (M0), f’z (M0) для данной функции f (x,y,z) в точке M0 (x0,y0,z0) с точностью до двух знаков после запятой.
3. Вычислить значения частных производных функции z (x,y), заданной неявно, в данной точке M0 (x0,y0,z0) с точностью до двух знаков после запятой.
lnZ=x+2y-z+ln3 M0 (1,1,3)
4. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). S: z=x2+y2-4xy+3x-15, M0 (-1,3,4)
Следовательно, уравнение касательной плоскости будет таким:
а уравнение нормали таким:
