Лекция №2
Математическое описание цифровых устройств
Элементы булевой алгебры
Определение функции алгебры логики (ФАЛ)
Операции алгебры логики одной переменной
Операции алгебры логики двух переменных.
Основные операции.
Теоремы (законы) алгебры логики
Элементы булевой алгебры
Булева алгебра – это формальный аппарат описания процессов в цифровых устройствах. Алгебра логики имеет дело с логическими константами и переменными, отражающими высказывание, событие или состояние какого-либо объекта.
Два элемента алгебры логики - Истина (Да, 1) и Ложь (Нет,0) являются логическими константами. Предпочтение отдается обозначениям 1 и 0.
Логическая переменная х может принимать только одно из двух значений: Истина (Да, 1) или Ложь (Нет,0).
х=1, если х¹0;
х=0, если х¹1
Логические переменные хорошо отражают состояние объектов с двумя четко различными состояниями: включено (1) и выключено(0). Физически логические переменные могут быть представлены уровнями напряжения (тока) или других физических величин. На практике принято присваивать высокому уровню -1, низкому уровню – 0.
2. Определение функции алгебры логики (ФАЛ)
Рассмотрим ряд логических переменных хn-1,хn-2, хn-3,…х1, х0,каждая из которых может принимать только значения 0 или 1.
Поставим в соответствие каждому набору значений переменных некоторую логическую величину Y, которая в зависимости от конкретной кодовой комбинации переменных хn-1,хn-2, хn-3,…х1, х0 может принимать также значения только 1 или 0.
Функция, отражающая поведение Y от кодовой комбинации переменных называется логической (переключательной) функцией или функцией алгебры логики (ФАЛ).
Y = f (хn-1,хn-2, хn-3,…х1,х0)
3. Булевы функции одной переменной
3.1 В общем случае число кодовых наборов входных переменных:
M = 2 n
3.2 Число логических откликов на выходе:
N = 2 M
3.3 Если n = 1, то M = 2 и N = 4 (см. таблицу 1)
Таблица 1 - Булевы функции одной переменной
| Номер ФАЛ | Значения функции «Y» при | Условное обозначение ФАЛ «Y» | Название ФАЛ «Y» одной переменной | ||
| x=0 | x=1 | ||||
| f0 (x) | Константа 0 | ||||
| f1 (x) | 
| Переменная x(тождество) | |||
| f2 (x) | 
| Отрицание x(инверсия) | |||
| f3 (x) | Константа 1 | ||||
4 Булевы функции двух переменных.
4.1 Если число n= 2, то M = 4, N = 16
Таблица 2 Булевы функции двух переменных
| Номер функции | Значения функции при x/y | Условное обозначение функции | Название функции двух переменных | ||||
| x | |||||||
| y | |||||||
| f0(x,y) | Константа «0» | ||||||
| f1 (x,y) | 
| Конъюнкция (логическое «И») | |||||
| f2(x,y) | 
| Запрет по «y» (отрицание импликации от «x» к «y») | |||||
| f3(x,y) | 
| Переменная «x» (тождество) | |||||
| f 4(x,y) | 
| Запрет по «x» (отрицание импликации от «y» к «x») | |||||
| f5(x,y) | 
| Переменная «y» (тождество) | |||||
| f 6(x,y) |  =
= +
| Сумма по модулю 2 (исключающее «ИЛИ») | |||||
| f 7(x,y) | 
| Дизъюнкция (логическое «ИЛИ») | |||||
| f8(x,y) | 
| Отрицание дизъюнкции (стрелка Пирса, логическое «ИЛИ-НЕ») | |||||
| f9(x,y) |  + 
| Эквивалентность (равнозначность) | |||||
| f10(x,y) | 
| Отрицание «y» (инверсия), (логическое «НЕ») | |||||
| f11(x,y) | 
| Импликация от «y» к «x» | |||||
| f12(x,y) | 
| Отрицание «x» (инверсия), (логическое «НЕ») | |||||
| f13(x,y) | 
| Импликация от «x» к «y» | |||||
| f14(x,y) | 
| Отрицание конъюкции (Штрих Шеффера) | |||||
| f15(x,y) | Константанта «1» |
Основные ФАЛ и соответствующие элементарные логические элементы
Условно-графические обозначения логических элементов
а) Логический элемент И (ФАЛ- лог. умножение- конъюнкция)
Y = X1× X2× … × Xn;