Для построения графика функции y = f (x) нужно последовательно выполнить шаги, указанные в следующих пунктах.
1). Найти область определения функции и исследовать поведение функции на границах этой области и в окрестностях точек разрыва.
2). Найти асимптоты в случае их существования.
3). Выяснить четность и нечетность функции и ее периодичность.
4). Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума.
5). Определить направление вогнутости и найти точки перегиба.
6). Найти точки пересечения графика с осями координат и некоторые дополнительные точки графика.
7). Результаты исследования и найденные точки изобразить в системе координат и можно строить график.
Пример 18. Исследовать функцию у = 3 х 5 - 5 х 3 и построить ее график.
Решение. 1). Указанные в формуле 3 х 5 - 5 х 3 действия можно производить над любыми числами, поэтому функция всюду определенная и ее область определения равна (-¥; +¥). Исследуется поведение функции при х ® ±¥. Для этого функция преобразуется к виду у = х 3×(3 х 2 -5). Тогда легко видеть, что если x ® +¥, то х 3 ® (+¥)3 = +¥ и (3 х 2-5) ® 3(+¥)2 - 5 = +¥, следовательно, у ® +¥. Если же x ® -¥, то х 3 ® (-¥)3 = -¥ и (3 х 2 - 5) ® 3(-¥)2 -5 = +¥, следовательно, у ® -¥.
Таким образом, при х ® +¥ у ® +¥ и при х ® -¥ у ® -¥. В декартовой системе координат эту ситуацию можно изобразить, напри-
 |
мер, точками Р 1(+8; +8), Р 2(-8; -8) и временно считать что график функции проходит через эти точки.
3). Проверется нечетность функции: f (- x) = 3(- х)5 -5(- х)3 = -3 х 5 + 5 х 3 = -(3 х 5-5 х 3) = - f (x). Это означает, что функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. Данная функция состоит из непериодических функций, поэтому она непериодическая.
4). Вычисляется производная: у ¢= 3(х 5)¢ - 5(х 3)¢ = 15 х 4 -15 х 2. Находятся критические точки: у ¢= 0 ® 15 х 2 (х 2-1) = 0 ® х 1= 0, х 2= -1, х 3 = 1. Изображаются промежутки монотонности и определяются знаки у ¢:
 |
+ - - + х
-¥ -1 0 1 +¥
Черт. 39.
На (-¥;-1) и (1; +¥) функция возрастает; на (-1; 0) и (0; 1) она убывает. Точки х 2 = -1, х 3 = 1 являются точками экстремума: х 2 = -1 точка максимума и у max = у (-1) = 2; х 3 = +1 точка минимума и у min = у (1) = -2. Точка х 1 = 0 не является точкой экстремума, так как у ¢ не меняет знак при переходе через 0.
5). Вычисляется производная 2-го порядка: у ¢¢= (15 х 4 )¢ - (15 х 2)¢ = 60 х 3 - 30 х. Находятся стационарные точки: у ¢¢= 0 ® 60 х 3 - 30 х = 0 ®
х 1 = 0, х 4 = Ö `0,5, х 5 = - Ö `0,5. Изображаются промежутки вогнутости и определяются знаки у ¢¢:
 |
- + - +
 |
-¥ - Ö `0,5 0 Ö `0,5 +¥
Черт. 40.
Получено у ¢¢< 0 на промежутках (-¥; - Ö `0,5), (0; Ö `0,5), поэтому здесь график вогнут вниз. И у ¢¢> 0 на промежутках (- Ö `0,5; 0), (Ö `0,5; +¥), поэтому здесь график вогнут вниз. Вычисляются значения функции в стационарных точках: у (0) = 0, у (Ö `0,5) » -1,24, у (- Ö `0,5) » 1,24. Точки перегиба имеют координаты: О (0; 0), С (Ö `0,5; -1,24), D (- Ö `0,5; 1,24).
6). Уравнение оси ОХ имеет вид у = 0, поэтому координаты точек пересечения с осью ОХ находятся из системы:
у = 0,
у = 3 х 5 - 5 х 3.
Ясно, что 3 х 5- 5 х 3 = 0. Отсюда: х 1 = 0, х 6 = - Ö `5/3 » -1,29, х 7 = Ö `5/3 »1,29.
Получены точки пересечения с ОХ: О (0;0), А (-1,29; 0), В (1,29; 0).
Уравнение оси ОY имеет вид х = 0, поэтому координаты точек пересечения с осью ОY находятся из системы:
x = 0,
у = 3 х 5 -5 х 3.
Отсюда получается, что О (0; 0) - точка пересечения с ОY.
|
y =3 x 5 -5 x 3 xx
2
D
1 Х
A -1 O B
C
-2
Р 2
Черт. 41.
7). Координаты найденных выше точек записываются в виде таблицы, и эти точки изображаюся в декартовой системе координат. Для уточнения графика находятся вспомогательные точки: Р 1(1,4; 2,4), Р 2(-1,4; -2,4), теперь эти точки используются вместо указанных пункте 1 точек Р 1, Р 2. По найденным точкам строится график (см. чертеж 41).
Упражнения
1. Найти производные функций.
1). y = x 5; 2). y = 0,25 x 4 - x 3 + 0,5 x 2 - 2; 3). y = x (x + 2);
4). y = 2 x -4 - 5 x -2; 5). y = 3x -2 - 4 x -1; 6). y = 0,75 x × Ö ` x;
7). y = 6x 4/3 ; 8). y = 2 Ö ` x 3 + 3 Ö ` x 5; 9). y = (4 x -2). (x 2+3 x -2);
10). y = (4 x 2 + 4 x +1). (4 x – x 2); 11). ex . ln x; 12). y = x 2. ln x;
13). y = x 4. 2 x; 14). y = 3 x 3 lnx - x 3; 15). y = (x 2 +2 x + 2). ex;
20). y = ln 2 x; 21). y = (x +1)4; 22). y = (1- x 2)5; 23). y = ln (x 2 – 2 x);
 |
2. Составить уравнение касательной к кривой y = f (x) в точке х 0:
1) у = 5 x 3 + 2 x 2 - х + 3, х о= 2; 2) у = x/ (x + 2), х о = 0;
3) у = x 3 + x +5, х о= -1; 4) у = 1/(х + 3), х о= -2.
3. Составить уравнение касательной к кривой y = f (x) параллель-
ной данной прямой ax + by + c = 0:
1) у = x 3 +1, у -3 х + 1 = 0; 2) у = х 2 – 4 х, 2 x + у -2 = 0;
3) у = е - х, х + у = 0; 4) у = - х 2 – х -1, 5 x - у + 1 = 0.
4. Составить уравнение касательной к кривой y = f (x) перпенди-
кулярной данной прямой ax + by + c = 0:
1) у = 3 x - x 2, х + 2 у = 1; 2) у = ln (x - 1), х + у = 1.
3) у = х 2 – 4 х, x + 4 у -2 = 0; 4) у = - х 2 – х -1, x - у + 1 = 0.
5. Проверить, является ли функция y = f (x) решением данного
дифференциального уравнения:
1) у¢ – 
= х, у = 2 х 3 – х 2; 2) х у ¢+ у = lnх +1, у = lnх;
3) x . y ¢ = y (1+ ln (y/x)), y = x . e - x; 4) y = y ¢. x + 1 /y’, y = 2 x + 0,5.
6. Найти приращение D y и дифференциал dy функции:
1) у = x 2 + x при х = 1 и D х = 0,04; 2) у = x 3 -8 x при х = 2 и D х = 0,01.
7. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:
1) Ö `5; 2) Ö `105; 3) Ö `65; 4) Ö `33; 5) Ö `1,006.
8. Зависимость расхода автомобилем бензина у (л) на 100 км пути в зависимости от скорости х (км/ч) описывается функцией у = 20 - 0,4 х + 0,005 х 2. Определить наиболее экономичную скорость.
9. При плавании судна суточные расходы у (тыс.руб./cут.) выражаются через его скорость х (км/сут.) формулой у = 320/ x + 0,02 х 2. Найти скорость судна, при которой плавание будет наиболее экономично.
10. Себестоимость продукции С (млн.руб.) описывается функцией С =250 х 3 + 25 х 2 + 4,3 х + 0,05, где х (тыс.ед.) - объем продукции, выпускаемой за день. Прибыль определяется как разность между выручкой от реализации и ее себестоимостью. Определить при каком объеме выпуска продукции прибыль будет максимальной, если продукция реализуется по цене 10 тыс.руб за 1 ед. Вычислить прибыль.
11. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м 3 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
12. Консервная банка данного объема V имеет форму цилиндра. Каково должно быть отношение ее размеров x (x = h /d, где h - высота и d - диаметр), чтобы на ее изготовление пошло минимальное количество жести?
13. Из имеющихся досок можно построить забор длиной 200 м. Определить размеры максимального по площади участка прямоугольной формы, прилегающего к стене дома, который можно огородить этими досками.
14. Определите наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x) на заданном отрезке [ a; b ].
1) у = х 3 - 3 х + 3 на [-3; 1,5]; 2) у = х 4 - 8 х 2 + 3 на [-2; 2];
3) у = (х- 1) / (х+ 1) на [0; 4];4) у = Ö `(4 - х 2) на [-2; 2];
5) у =3 х - х 3 на [-2; 3].
15. Для функции y = f(x): a) найти область определения и выяснить поведение функции на бесконечности, б) определить четность или нечетность, в) найти промежутки монотонности и точки экстремума, г) определить направление вогнутости и найти перегиба; д) найти точки пересечения графика с осями координат, е) построить график.
1) у = х 3 - 4,5 х 2 + 6 х; 2) у =0,25 х 3 - х 2 - 4 х + 6; 3) у = 0,125(х + 2)(х- 4)2;
4) у = х 3 + 0,25 х 4; 5) у = 0,5 х 2(х 2 - 4); 6) у = 
;7) у = 
.
Измеряется скорость химической реакции изменением кон-
центрации реагирующих веществ в единицу времени.
Пусть C1 – это количество реагирующих веществ во времени t1; а C2 –
количество реагирующих веществ во время t2. Тогда
V = (C2 – C1)/(t2 – t1) = ÄC/Ät.
Так определяется средняя скорость. Но скорость изменяется непре-
рывно, и истинная скорость химической реакции находится как предел
средней скорости при t → 0, т.е.
lim ÄC/Ät = dC/dt = V.
t→0