Рассмотрим несколько примеров исследования функции на возрастание и убывание.

Занятие № 10. Тема.Возрастание и убывание функции.

Мотивация изучения темы:

Актуальность темы “Производная ” следует из того, что человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны с помощью функций на математическом языке, а между тем производная является мощным орудием исследования функций. Тема “Производная " является одним из основных разделов начал математического анализа. Данной темой и ее разработкой занимались такие великие ученые, как Лейбниц и Ньютон - основоположники дифференциального исчисления.

Цели занятия:

Обучающие: Сформулировать признаки возрастания и убывания функции, алгоритм исследования функции на промежутки монотонности. Определения точек максимума и минимума функции; необходимое и достаточное условие существования экстремума, алгоритм исследования функции на экстремум. научиться исследовать несложные функции на промежутки монотонности, находить экстремумы функции.

Развивающие: развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, логическое мышление, математическую речь.

Воспитательные: воспитывать уважение и интерес к предмету, умение работать с имеющейся информацией, умение слушать и формировать умение

План занятия.

1.Изучить признак возрастания и убывания функции.Разобрать примеры нахождения промежутков монотонности функции.

2.Ввести понятие критических точек,точек экстремума и экстремумов функции.Решить задачи на нахождение экстремумов функции.

3.Домашнее задание; выполнение номеров в учебнике,закрепление материала.

4.Выполнение самостоятельной работы.

Изучение нового материала.

Признак возрастания и убывания функции.

Если на некотором промежутке производная функции больше нуля, то функция возрастает на этом промежутке;

Если на некотором промежутке первая производная функции меньше нуля, то функция убывает на этом промежутке.

Промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает, называются промежутками монотонности.

Переход от возрастания к убыванию и обратно возможен лишь в точках, при переходе через которые, производная меняет свой знак. Такими точками являются те, в которых производная равна нулю или не существует, они называются критическими.

2. Порядок нахождения промежутков монотонности(возрастания и убывания):

1. Найти область определения функции.

2. Найти первую производную функции.

3. Найти критические точки, исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции.

Рассмотрим несколько примеров исследования функции на возрастание и убывание.

Найти промежутки монотонности функций:

1)

а) область определения ,

б) найдем производную: ,

в) найдем критические точки: ; , и

Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.

	+		-		+
	↑		↓		↑

Итак, в промежутках функция возрастает, в промежутке убывает.

2)

а) область определения ,

б) найдем производную: ,

в) найдем критические точки: ; ,

Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.

	-		-
	↓		↓

Функция убывает на всей области определения.

3) .

а) область определения ,

б) найдем производную: ,

в) найдем критические точки: ; ;

Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.

		2,5
	-		+
	↓		↑

Функция возрастает на промежутке , убывает на промежутке

Самостоятельно найти промежутки монотонности функции .

2. а) Пусть график некоторой функции имеет вот такой вид

Если рассмотреть значение функции в точке , то оно будет наименьшим (минимальным), чем в любой другой из близлежащей окрестности. В этом случае говорят, что - точка минимума.

Точка из области определения функции называется точкой минимума, если для любого из окрестности точки выполняется неравенство > .

б) Если рассмотреть значение функции в точке на этомграфике (Слайд 11), то оно будет наибольшим (максимальным), чем в любой другой точке из близлежащей окрестности. В этом случае говорят, что - точка максимума.

Точка из области определения функции называется точкой максимума, если д л ялюбого из окрестности точки выполняется неравенство <

Максимум и минимум функции объединяют словом экстремум (с латинского - крайний), а точки максимума и минимума называют точками экстремума (экстремальными точками)

Необходимое условие существования экстремума функции в точке: Если -точка экстремума функции и в этой точке функция дифференцируема, то производная в этой точке равна нулю.

(Точками экстремума могут служить лишь критические точки, в которых производная равна нулю или не существует).

Необходимое условие не является достаточным, т.е. из того факта, что производная равна нулю в некоторой точке, не следует, что функция в этой точке имеет экстремум(например, функция ).

Достаточное условие существования максимума состоит в смене знака производной при переходе через критическую точку с "+" на "-", а для минимума с "-" на "+". Если при переходе через критическую точкусмены знака производной не происходит, то в данной точке экстремума нет.

Переходим к третьему вопросу.

3. План исследования функции на экстремум:

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную.

3. Найти критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. Расположить их в порядке возрастания.

4. Исследовать знак производной в полученных промежутках.

5. Вычислить значение функции в точках максимума и минимума.

Найти экстремумы функций:

а) ;

1. область определения ,

2. найдем первую производную: ,

3. найдем критические точки: ; ;

Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.

		-1
	-		+		-		+
	↓	Минимум 0,5	↑	Максимум 0	↓	Минимум 0,5	↑

б) ;

1. область определения ,

2. найдем первую производную ;

3. найдем критические точки: ; ;

Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.

		2,5
	-		+
	↓	Минимум 1,25	↑

в)

1. область определения ,

2. найдем первую производную6

3. найдем критические точки: ; ,

Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.

		-2
	-		+		-
	↓	Минимум -11	↑	Максимум 21	↓

Домашнее задание:

1.Прочитать учебник стр.261-268(сделать конспект,смотри у меня в конце урока)

2.посмотреть видеоурок: https://www.youtube.com/watch?v=u3FFINouLsc

3.решить упражнения из учебника:№ 900 (2,4,6), 914 (1,3), 915(1).

4.выполнить: Самостоятельная работа.

1.Найти производную функции.

1. ;

2. ;

3. ;

2. Написать уравнение касательной для функции:

Y= 2x²- 5x+ 7, точке х₀=2

3. Найти промежутки монотонности и экстремумы:

.

Список использованной литературы:

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2012.

2.Дополнительные источники: Интернет-ресурсы.

3.Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень).

11 кл. – М., 2012 Шабунин М.И.., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Газарян Р.Г. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. Просвещение, 2012.

 

 

Опорный конспект.