Производная высших порядков

Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки x_O, то ф-ция f’(x):x®f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке x_O или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке x_O и обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее. Для единообразия обозначаем через f^N(x_O) - производную порядка n функции f в точке x_O и при n=0 считаем f⁰(x_O)=f(x_O).

Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки x_O (следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция x®f^N-1(x) непрерывна в точке x_O, а при n³2 все производные порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки x_O.

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует производная у’(t)=у’(х)*х’(t).

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t)

+нужно док-во

Диференциалы высших порядков

dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т.е. d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^(n-1)y) от диф. d^(n-1)y наз-ся диф. n-ного порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny.

Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dⁿy)По определению dⁿy= d(d^n-1y). Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем случае, dⁿy=f⁽ⁿ⁾(х)dxⁿ, в предположении, что n-ая производная f⁽ⁿ⁾(х) сущ-ет.

+нужно док-во

Возрастание и убывание ф-ии в точке. Достаточное условие возрастан и убыван ф-ии в точке

Понятие локального экстремума, необходимое условие локального экстремума

Опр-ие: Функция у=f(х) имеет в точке x₀ локальный максимум, если сущ-ет окрестность (х₀-d, х₀+d), для всех точек х которой выполняется неравенство f(х)£f(х₀). Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться должно равенство f(х)³f(х₀).

Теорема Ферма: Если функция у=f(х) имеет в точке х₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная f'(х₀) равна нулю.

Док-во: Проведем его для случая максимума в точке х₀. Пусть (х₀-d, х₀+d) - та окрестность, для точек которой выполняется неравенство

При ∆х>0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому

По условию теоремы, существует производная f'(х₀) А это означает, что правая производная f_пр'(х₀) и левая производная f_л'(х₀) равны между собой: f_пр'(х₀)= f_л'(х₀)= f'(х₀). Таким образом, с одной стороны, f'(х₀)≤0, с другой стороны, f'(х₀)≥0, что возможно лишь, когда f'(х₀)=0.

Th Роля

Пусть ф-ция f(x) удовл. сл. усл.

А)Непрерывна на [a,b]

Б) Дифференц. на (a,b)

В) принимает на коцах отрезков равные значения f(a)=f(b), тогда на (a,b) $ т-ка такая что f‘(c)=0, т.е. с-крит. т-ка.

Док-во. Р-рим сначала, тривиальный случай, f(x) постоянная на [a,b] (f(a)=f(b)), тогда f‘(x)=0 $ x Î (a,b), любую т-ку можно взять в кач-ве с. Пусть f¹ const на [a,b], т.к. она непрер. на этом отрезке, то по т-ме Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min. Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. – max или min обязательно достигается во внутр. т-ке. сÎ(a,b) (в противном случае f=const), то по т-ме Ферма, тогда f‘(c)=0, что и требовалось д-ть.