Рисунок 47
Модель проецирующего аппарата (См. рис 47), состоящего из системы плоскостей, линий, и точек, разработана на основе метода центрального проецирования, задается обычно в прямоугольной изометрии. На этой модели удобно рассматривать и изучать законы построений перспективных проекций.
Элементы проецирующего аппарата:
П – предметная плоскость, располагающаяся горизонтально и подразумевающаяся безграничной. На ней помещают зрителя, картинную плоскость и изображаемые предметы.
К - картинная плоскость, располагающаяся вертикально перпендикулярно предметной и подразумевающаяся безграничной. На ней получают центральную проекцию, т.е. перспективу.
S – точка зрения, центр проекций и из которого проходят проецирующие лучи ко всем точкам изображаемых объектов.
S - точка стояния, вторичная проекция точки S, или горизонтальная проекция точки S на предметной плоскости:
Ss - высота точки зрения, расстояние от точки зрения до предметной плоскости
Р - главная точка картины, точка пересечения главного луча зрения с картиной, всегда находится на линии горизонта и лежит в средней её трети.; определяет центр композиции картины;
ОО1 – основание картины, линия пересечения предметной и картинной плоскости
H - плоскость горизонта; параллельная предметной плоскости и проходящая через главный луч зрения, всегда находится на уровне глаз зрителя;
hh1 - линия горизонта, линия пересечения плоскости горизонта с плоскостью картины, может быть высокой, средней, низкой;
D и D1 - дистанционные точки или точки отдаления, точки, расположенные на линии горизонта по обе стороны от точки P на расстоянии, равном длине главного луча зрения. (SР = РD = РD1);
Рро - главная линия картины или линия главного вертикала, образованная от пересечения плоскости главного луча с картиной. Главная линия делит на левую и правую части и располагается в средней её трети;
N - нейтральная плоскость; плоскость исчезновения, проходит через точку зрения, параллельно картинной плоскости;
П∞ - предметное пространство; бесконечное пространство, находящееся за картинной плоскостью. В предметном пространстве располагаются объекты, изображаемые на картине;
N∞ - промежуточное пространство; бесконечное пространство, заключенное между картиной и нейтральной плоскостью.
М ∞ – мнимое пространство, бесконечное пространство, расположенное сзади зрителя за нейтральным пространством. В мнимом пространстве располагаются бесконечно удаленные точки, например, солнце или луна.
SP - главный луч зрения или перпендикуляр, проведенный из точки зрения на картину. Главный луч зрения определяет расстояние зрителя до картины.
Г - плоскость главного луча, расположенная перпендикулярно к картине и предметной плоскости проходящая через главный луч зрения SP.
Построение перспективы прямых
Горизонтальные прямые
Прямы е, лежащие в предметной плоскости или ей параллельные называются горизонтальными. Относительно картинной плоскости горизонтальные прямые могут быть расположены по-разному: параллельно, перпендикулярно и под произвольным углом. Рассмотрим горизонтальную прямую и её проекцию, параллельные картинной и предметной плоскостям, а, следовательно, и основанию картины. Такие прямые определяют – ширину измерения. В предметном пространстве проецирующего аппарата (См. рисунок 48) задана прямая АIBI,, параллельная картинной и предметной плоскостям. 
Рисунок 48
Требуется построить перспективу этой прямой. Для этого ко всем её точкам направляют лучи зрения, которые образуют лучевую плоскость, пересекающую картину по прямой АВ, параллельной основанию картины. Так же строят и перспективу проекции ab заданной прямой на предметную плоскость, которая также будет параллельна основанию картины, и также не будет иметь предельную точку. Действительно, если из точки S направить лучи в обе стороны параллельно заданной прямой, то они будут находится в нейтральной плоскости, и их пересечение будет в несобственной точке промежуточного (нейтрального) пространства.
Глубинные прямые
Рассмотрим горизонтальную бесконечно продолженную прямую АIBI∞ и её проекцию aIbI ∞, лежащих перпендикулярно картинной плоскости, а, следовательно, и к её основанию (См. рисунок 49).
Рисунок 49
Такие прямые определяют – глубину измерения. Сначала строят перспективу точки АI и перспективу её проекции на предметную плоскость aI. Затем строят предельную точку этих прямых. Для этого параллельно прямой направляют луч зрения, который совпадет с главным лучом зрения SP, следовательно, для глубинной прямой предельной точкой будет главная точка картины P.
3. Вертикальные прямые
Рассмотрим бесконечно продолженную прямую АIBI ∞ перпендикулярную предметной плоскости, а, следовательно, параллельную картине (См. рисунок 50). Такие прямые называются вертикальными и определяют – высоту измерения. Для построения её перспективы направим ко всем точкам этой прямой проецирующие лучи, которые образуют лучевую плоскость перпендикулярную П. Отсюда линия пересечения этой плоскости с картиной 
тоже будет перпендикулярна к предметной плоскости, а, следовательно, и к основанию картины.
Для вертикальной прямой предельной точки не существует. Действительно, если через точку зрения направить луч параллельно данной прямой, то он будет находиться в нейтральной плоскости и, следовательно, является параллельным картине.
Перспективные масштабы
Построение в перспективе изображения по заданным размерам, называется решением прямой задачи, а определение натуральных размеров объекта, изображенного на картине, называется решением обратной задачи. Для того чтобы правильно решать такие задачи, необходимо правильно определить натуральный масштаб картины – это отношение единицы измерения на картине к единице измерения в натуре. Размеры рамки картины и её положение (вертикальное или горизонтальное) автор выбирает в соответствии с замыслом и композицией. Для определения на картине расстояний между точками объекта и его размеров строят перспективный масштаб в соответствии с направлениями измеряемых отрезков в трех основных направлениях предметного пространства:
1. Направление прямых, перпендикулярных плоскости картины – направление глубины.
2. Направление прямых, параллельных основанию картины – направление ширины.
3. Направление прямых, перпендикулярных предметной плоскости - направление высоты.
Масштаб глубин
На проецирующем аппарате рассматривается построение масштаба глубин, заданном на прямой, перпендикулярной плоскости картины (См. рисунок 51). Сначала задают в предметной плоскости глубинную прямую А0 А I∞. На основании картины от точки А0 отмечают делениями 10, 20, 30 – натуральные отрезки в масштабе картины.
Рисунок 51
Затем переносят эти отрезки на заданную прямую А0 А I ∞ и соединяют одноименные точки параллельными прямыми 10 -1I, 20 -2I, 30 -3. На рисунке 7, б показано геометрическое построение. Полученные треугольники 10 А01I, 20 А02I, 30 А03 прямоугольные, равнобедренные и подобные. Далее находят перспективу заданной прямой - А0Р и пучка параллельных прямых, полученного при помощи их общей предельной точки. Предельная точка получена при пересечении луча зрения SD параллельного прямым 10 -1I, 20 -2I, 30-3, с линией горизонта. Точка D является точкой схода пучка параллельных прямых. Линии переноса 10 - D, 20 - D, 30 – D, при пересечении с прямой А0Р отметят точки 1. 2. 3, которые определят перспективные отрезки А0 – 1, 1-2, 2-3, равные по длине отрезкам, заданным на основании картины. Треугольник SРD, образовавшийся в плоскости горизонта, подобен треугольнику 10 А01I, так как у них параллельны сходственные стороны. Следовательно, он прямоугольный и равнобедренный, а катеты SP и РD равны между собой.
Отсюда следует, что при построении масштаба глубин точкой схода линий переноса является D - дистанционная точка.
Следовательно, для построения перспективного масштаба глубин, натуральный масштаб задают на основании картины и переносят его с помощью линий переноса, точкой схода которых является дистанционная точка.
Масштаб широт
Построение масштаба глубин рассмотрим на проецирующем аппарате, на прямой, параллельной основанию картины (См. рисунок52). Зададим в предметной плоскости прямую АI3 I ∞ параллельную основанию картины.На основании картины от точки А0 отмечают делениями 10, 20, 30 – произвольные натуральные отрезки в масштабе картины. Затем переносят эти отрезки на заданную прямую А0 3I ∞ параллельными прямыми 10 -1I, 20 -2I, 30 -3I и соединяют одноименные точки.
Затем на картине строят перспективу точки АI и заданной прямой. Определяют положение точки схода линий переноса А∞, направив параллельно им луч зрения до пересечения с горизонтом. Соединив точки 10, 20, 30 с точкой схода А∞, получают точки пересечения А, 1, 2, 3. Полученные отрезки А-1, 1-2, 2-3 являются перспективным изображением натуральных отрезков, заданных на основании картины.
Рисунок 52
Следовательно, для построения перспективного масштаба широт, натуральный масштаб с основания картины переносят на заданную прямую с помощью линий переноса, произвольно задав их точку схода на горизонте или используя главную точку.
Масштаб высот
Рассмотрим построение масштаба высот на проецирующем аппарате, на примере построения перспективы прямой, перпендикулярной к предметной плоскости (См. рисунок 53). Зададим в предметном пространстве вертикальную прямую АI3 I, а на правой рамке картины зададим натуральные отрезки А0-1к, 1к-2к, 2к-3к. Для переноса натурального масштаба заданную прямую и правую сторону картины заключают в горизонтально-проецирующую плоскость.
Затем натуральные отрезки переносят на заданную прямую с помощью горизонтальных линий переноса А0 АI, 1к -1I, 2к -2I, 3к -3I параллельных предметному следу А0 АI. Построим на картине перспективу вертикальной прямой, и определим положение точки схода линий переноса А∞, которая является точкой схода предметного следа плоскости, в результате пересечения луча зрения SА ∞ параллельного им, с плоскостью картины в точке А ∞ на линии горизонта. Отрезки А-1, 1-2, 2-3 являются перспективным изображением натуральных отрезков в масштабе картины.
Следовательно, для построения перспективного масштаба высот, натуральные отрезки откладывают на картинном следе горизонтально-проецирующей плоскости, в которую заключают заданную вертикальную прямую, и переносят их с помощью горизонтальных линий переноса, где их точкой схода является предельная точка предметного следа этой плоскости.
Перспективный масштаб широты представляет собой отрезок прямой на основании картины, равный единице измерения, взятой в масштабе. Если концы этого отрезка соединить с точкой схода P≡F, то получим перспективное изображение двух горизонтальных прямых в натуре перпендикулярных к картине и взаимно параллельных. Расстояние между этими прямыми будет на всем их протяжении равно 1 м.
Перспективный масштаб высоты представляет собой отрезок прямой на одной из вертикальных сторон картины, отложенный от основания картины, равный единице измерения, взятой в масштабе. Соединив концы этого отрезка с точкой схода P≡F, получим перспективное изображение двух горизонтальных прямых в натуре перпендикулярных к картине и взаимно параллельных. Также получаем возможность установить ту же величину при любом удалении в глубину картины.
Перспективный масштаб глубины представляет собой отрезок прямой, отложенный от одного из углов картины, равный единице измерения, взятый в масштабе. Соединив концы этого отрезка с точкой отдаления D2, тогда на прямой, соединяющей угол картины с точкой схода F, получим в перспективе изображения отрезков в натуре, перпендикулярных к картине и равных между собой. Также получаем возможность установить ту же величину при любом удалении в глубину картины.
Совмещение плоскостей проецирующего аппарата с картиной
Для того чтобы получить совмещенные с картиной плоскость горизонта и предметную плоскость нужно сделать преобразование проецирующего аппарата.
Сущность этого преобразования состоит в том, что предметную плоскость совмещают с картиной вращая её вниз на 900 вокруг основания картины ОО1. Плоскость горизонта вместе с точкой зрения и главным лучом зрения поворачивают вокруг линии горизонта на угол 900, до совмещения с картиной. Таким образом, получают две плоскости, совмещенные с картиной. Совмещенная точка зрения обозначается Sк, а совмещенная предметная плоскость П II.
Зададим на предметной плоскости П точку АI, построим сначала её перспективу, а потом выполним преобразование проецирующего аппарата и проследим, как будет определяться точка АI в совмещенной предметной плоскости ПII.
Из заданной точки АI проведем перпендикуляр к основанию картины. Прямая АIа0 будет параллельна главному лучу зрения SP, следовательно, она глубинная и её предельной точкой будет являться главная точка картины P. Построим перспективу точки АI. Затем выполним преобразование плоскостей проецирующего аппарата. При вращении предметной плоскости вместе с ней повернётся и точка АI, которая расположится на перпендикуляре а0 АI Если из совмещенной точки зрения Sк провести луч в точку АII, то он пересечется с прямой а0Р в точке А .
Следовательно, между точкой АI заданной на предметной плоскости Пи её изображением на картине установилось так называемое перспективное соответствие.
На совмещённых плоскостях перспектива точки строится в той же последовательности что и на проецирующем аппарате. Таким образом, на совмещенной предметной плоскости ПII можно задавать точки, прямые углы и плоские фигуры и строить их на картине в перспективе.