Предел постоянной величины

Пример

Если в одном и том же круге центральные углы равны, то равны и соответствующие им дуги.

Если в одном и том же круге дуги равны, то равны и соответствующие им центральные углы

2. Числовая функция и ее график. Определения: композиции функций, обратной функция. График обратной функции. Основные элементарные функции и их графики. Определение элементарной функции.

Числовая функция -функция, у которой область определения и множество значений являются числовыми множествами.

График числовой функции — это множество точек плоскости с координатами (x, f(x)), когда x принимает всевозможные значения из области определения функции f

Компози́ция фу́нкций — это применение одной функции к результату другой.

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией

Если у нас будет задан график некоторой обратимой функции f, то для того чтобы построить график обратной функции, можно пользоваться следующим утверждением: график функции f и обратной к ней функции g будут симметричны относительно прямой, заданной уравнением y = x.

Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана в виде y = f (x), где справа стоящее выражение составлено из основных элементарных функций, постоянных при помощи конечных операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

3. Определение предела последовательности, геометрическая интерпретация предела. Определение сходящейся последовательности. Общие свойства предела последовательности: предел постоянной, единственность предела, арифметические теоремы (о пределе константы, суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей). Необходимое условие сходимости последовательности (ограниченность), достаточное условие сходимости последовательности (монотонность и ограниченность). Число е. Натуральные логарифмы. Определение гиперболических функций, основное гиперболическое тождество.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число a∈ℝ называется пределом последовательности { xn } если ∀ε>0 ∃N∈ℕ такое, что | xn – a | <ε, ∀n>N.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ предела последовательности Пусть r ∈ ℝ, M(r) ∈Ox M(r) – геометрическая интерпретация числа r ∈ ℝ. Пусть x 0 ∈ ℝ, ε>0. Интервал (x 0 – ε; x 0 + ε) называют ε -окрестностью точки x 0. (геометрическое определение ε -окрестности точки)

если { x n } → a, то с геометрической точки зрения это означает, что в любой ε -окрестности точки a находятся все члены последовательности { x n}, за исключением может быть конечного их числа. (Геометрическая интерпретация предела последовательности).

Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся (сходящейся к a)

Свойство 1. Постоянный множитель c можно выносить за знак предела: