где основание b > 0.
Теорема. Критерий Коши сходимости последовательности.
Для того, чтобы последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Необходимое условие сходимости последовательности (ограниченность), достаточное условие сходимости последовательности (монотонность и ограниченность).
Число Эйлера (Е). e — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число.
Число e может быть определено через второй замечательный предел
Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где. — иррациональная константа, равная приблизительно 2,72
|
Гиперболические функции — это семейство элемен- тарных функций, выражающихся через экспо- ненту и тесно связанных с тригонометрически- ми функциями.
4. Различные типы стремления действительного аргумента и соответствующие им семейства окрестностей. Общее определение предела функции (по Коши) при произвольном стремлении аргумента. Расшифровка определения (на языке ε – δ) и геометрическая интерпретация предела для всех конкретных случаев, в частности, для бесконечных стремлений x x x → ∞ → +∞ → −∞,,. Определение локально ограниченной функции
Действительный аргумент х стремится к конечному числу а (х→а) для любого δ>0 существует такое значение аргумента х, что для всех последующих значений этого аргумента выполяется неравенство |x-a| < δ.
Постоянное число а является пределом аргумента х, если для любой сколь угодно малой окрестности точки а радиуса δ существует такое значение аргумента х, что все точки, соответствующие последующим значениям будут находиться в этой окрестности.
Действительный аргумент х стремится к конечному числу а справа (х→а+0 или х→а+) если для любого δ>0 существует такое значение аргумента х, что для всех последующих значений этого аргумента выполяется неравенство x-a < δ.
Действительный аргумент х стремится к конечному числу а слева (х→а-0 или х→а-) если для любого δ>0 существует такое значение аргумента х, что для всех последующих значений этого аргумента выполяется неравенство а-х < δ.
Действительный аргумент х стремится к бесконечности (х→∞) если для любого δ>0 существует такое значение аргумента х, что для всех последующих значений этого аргумента выполяется неравенство |х| > δ.
Действительный аргумент х стремится к плюс бесконечности (х→+∞) если для любого δ>0 существует такое значение аргумента х, что для всех последующих значений этого аргумента выполяется неравенство х > δ.
Действительный аргумент х стремится к минус бесконечности (х→ - ∞) если для любого δ>0 существует такое значение аргумента х, что для всех последующих значений этого аргумента выполяется неравенство х >-δ.
Функция f(x) стремится к числу А (к пределу А): f(x) →А при х→а, если для любого ε>0 существует δ = δ (ε)>0 такое, что для любого х: 0<|x-a|< δ => выполняется неравенство |f(x)-A|< ε.
Число A называется пределом функции f(x), если для любого ε>0 существует δ = δ (ε)>0, что для любого х: 0<x-a< δ => |f(x)-A|< ε
Число A называется пределом функции f(x), если для любого ε>0 существует δ = δ (ε)>0: для любого х< - δ => |f(x)-A|< ε.
Lim f(x) = +∞, если для любого ε>0 существует δ = δ (ε)>0, что для любого х: 0<|x-a|< δ выполняется неравенство f(x)> ε.
Lim f(x) = +∞, если для любого ε>0 существует δ = δ (ε)>0, что для любого х: x< - δ выполняется неравенство f(x)> ε
Определение локальной ограниченности функции. Функция называется локальноограниченной в точке (или при), если можно указать такую окрестность точки, в которой функция является ограниченной
Примеры: функция синуса, гипербола и т д
5.
Единтсвенность предела:Если функция f(x) имеет предел при x-x0, то он единственный
о замене переменной:
Пусть F(x)=f(g(x)) - сложная функция.
Если предел g(x) при x стремящемся к x0 равен y0,
а предел f(у) при у стремящемся к у0 равен z0,
то тогда предел F(x) при x стремящемся к x0 равен z0.
Теорема (о локальной ограниченности функции, имеющей предел). Для функции f(x), имеющей (конечный) предел при x → x0 существует проколотая окрестность этой точки, на которой данная функция ограничена.
(о предельном переходе в неравенстве). Пусть функции f(x) и g(x) опре- делены в проколотой окрестности U˚(x0) точки x0, причем для любого x ∈ U˚(x0) выпол- няется неравенство f(x) > g(x). Тогда, если эти функции имеют пределы a = limx→x0 f(x) и b = limx→x0 g(x), то a > b.
(о пределе промежуточной функции). Пусть для всех x из неко- торой проколотой окрестности U˚(x0) точки x0 выполняется двойное неравенство f(x) 6 g(x) 6 h(x), и пусть существуют пределы limx→x0 f(x) и limx→x0 h(x), равные од- ному и тому же числу a. Тогда и limx→x0 g(x) = a.
6. Бесконечно малые функции
Функция ϕ(x) называется бесконечно малой при x → x0, если limx→x0 ϕ(x) = 0. Теорема (о связи функции, ее предела и бесконечно малой). Равенство a = limx→x0 f(x) имеет место тогда и только тогда, когда f(x) = a + ϕ(x), где функция ϕ(x) бесконечно мала при x → x0.
(о сумме бесконечно малых). Пусть функции ϕ1(x),..., ϕn(x) бесконечно малы при x → x0. Тогда их алгебраическая сумма Pn i=1 ±ϕi(x) также бесконечно мала при x → x0.
(о произведении бесконечно малой величины на ограниченную). Пусть в проколотой окрестности U˚(x0) точки x0 заданы функции f(x) и ϕ(x), причем f(x) ограничена на U˚(x0), а ϕ(x) бесконечно мала при x → x0. Тогда произведение f(x)·ϕ(x) есть бесконечно малая функция при x → x0.
Если функция ƒ(х) имеем предел, равный b, то ее можно представить как сумму числа b и бесконечно малой функции α(х), т.е. Предел f(x)=b, то ƒ(х)=b+α(х), где α(х)- бесконечно малая величина.
7. ТЕОРЕМА 1. Предел суммы двух функций при x стремящемся к a равен сумме пределов этих функций,
ТЕОРЕМА 2. Предел произведения двух функций при x стремящемся к a равен произведению пределов этих функций,
ТЕОРЕМА 3. Предел частного двух функций при x стремящемся к a равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля
ТЕОРЕМА 4.Предел разности двух функций при x стремящемся к a равен разности пределов этих функций,