Определение. Матрица называется элементарной, если она получена из единичной одним элементарным преобразованием.
Например, матрица 
– элементарная матрица второго порядка, так ее можно получить из единичной умножением второй строки на -2. А вот матрица 
элементарной уже не является.
Использование элементарных матриц основано на их свойствах.
Теорема. (свойства элементарных матриц)
1) Каждая элементарная матрица обратима.
2) Матрица, обратная к элементарной, сама является элементарной и может быть получена из единичной с помощью обратного элементарного преобразования:
а) Если E – элементарная матрица, полученная из единичной перестановкой двух ее строк местами, то 
;
б) E – элементарная матрица, полученная из единичной умножением i -ой строки на число 
, то 
– элементарная матрица, полученная из единичной умножением i -ой строки на число 
;
в) E – элементарная матрица, полученная из единичной прибавлением к i -ой строке j -ой ее строки, умноженной на число 
, то – элементарная матрица, полученная из единичной прибавлением к i -ой строке единичной матрицы j -ой ее строки, умноженной на число 
.
3) Если матрица B получена из матрицы A тем же элементарным преобразованием, что и элементарная матрица E получена из единичной, то 
.
Доказательство.
1) Так как элементарная матрица получена из единичной с помощью элементарного преобразования, то она является квадратной матрицей n -го порядка и ее ранг равен рангу единичной матрицы того же порядка, т.е.равен n. Следовательно, элементарная матрица обратима по критерию.
2) а) Пусть E – элементарная матрица, полученная из единичной перестановкой i -ой и j -ой строк местами. Покажем, что , те. 
. Равенство матриц будем доказывать построчно.
Если 
и 
, то 
.
Если 
то 
.
Аналогично, если 
то 
.
б) Пусть теперь E – элементарная матрица, полученная из единичной умножением i -ой строки на число . Покажем, что если 
– элементарная матрица, полученная из единичной умножением i -ой строки на число , то 
, т.е. 
. Равенство 
будем доказывать построчно.
Если , то 
.
Если то 
.
в) Рассуждения проведите самостоятельно.
3) Пусть матрица B получена из матрицы A тем же элементарным преобразованием, что и элементарная матрица E получена из единичной. Покажем, что . Возможны три случая:
а) Пусть E – элементарная матрица, полученная из единичной перестановкой i -ой и j -ой строк местами. Равенство будем доказывать построчно.
Если и , то 
.
Если то 
.
Аналогично, если то 
.
б) Пусть теперь E – элементарная матрица, полученная из единичной умножением i -ой строки на число . Равенство будем доказывать построчно.
Если , то .
Если то 
.
в) Рассуждения проведите самостоятельно ■
Следствие 1. Если матрица B получена из матрицы A цепочкой элементарных преобразований, то 
, где 
– элементарные матрицы, соответствующие этим преобразованиям.
Так как любую невырожденную матрицу A с помощью элементарных преобразований можно привести к единичной, то единичную матрицу можно выразить через A с помощью соответствующих элементарных матриц:
. Откуда получаем, что 
– матрица, полученная из единичной цепочкой тех же преобразований, что и единичная из A, является матрицей, обратной к A.
Итак, чтобы найти матрицу обратную к невырожденной матрице нужно следовать следующему алгоритму:
, где 
.
Пример. Пусть 
. Согласно полученному алгоритму:
.
Итак, 
– матрица, обратная для 
.
Проверка: 
.