Вычисление значений синуса и косинуса

Вычисление значений функций

При компьютерных вычислениях значений функций, заданных формулами, далеко не безразлично, в каком виде записана соответствующая формула. Математически эквивалентные выражения часто оказываются неравноценными с точки зрения практики вычислений. Рассмотрим приемы, сводящие вычисление некоторых функций к циклам из элементарных операций.

2.1. Вычисление значения многочлена по схеме Горнера

Пусть дан многочлен -й степени с действительными коэффициентами

где , .

Требуется найти значение при , т.е.

Если находить значения каждого члена и суммировать их, то при больших потребуется выполнить большое число операций ( умножений и сложений). Кроме того, это может привести к потере точности за счет погрешностей округления.

Схема Горнера – алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы одночленов, при заданном значении переменной.

Проиллюстрируем его идею на примере многочлена третьей степени:

Его можно представить в виде

В общем случае

Обозначим:

Отсюда, последовательно вычисляя числа

(1)

………………

находим .

Таким образом, вычисление значения многочлена сводится к вычислению совокупности

(2)

Вычисление значений многочлена по схеме Горнера требует выполнения умножений и сложений. Во многих практических расчетах применение правила Горнера не только экономит машинное время, но и повышает точность за счет уменьшения верхнего предела ошибки округления.

Вычисление значений рациональных дробей

Рациональной дробью называют отношение двух многочленов

где ,

Рациональная дробь называется правильной, если n < m, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если n ≥ m) дробь называется неправильной.

Пример. Указать, какие из приведённых ниже дробей являются рациональными. Если дробь является рациональной, то выяснить, правильная она или нет.

Пусть требуется вычислить значение в точке :

Числитель и знаменатель данной дроби можно найти, пользуясь схемой Горнера. Отсюда получаем простой способ вычисления числа

Вычисление значений показательной функции

Разложение функции в ряд Тейлора во многих случаях является удобным способом вычисления значений этой функции.

Для показательной функции справедливо разложение

(). (1)

Приближенное вычисление по формуле (1) для малых удобно производить по схеме

где

, .

Пусть – заданная допустимая погрешность вычислений, тогда процесс суммирования следует прекратить, как только будет выполнено неравенство

Пример. Найти с точностью до .

Пользуемся формулой

, .

Слагаемые будем подсчитывать с двумя запасными десятичными знаками.

Последовательно имеем

Округляя сумму до пяти десятичных знаков после запятой, получим

Вычисление значений синуса и косинуса

Для вычисления значений функций и пользуемся степенными разложениями

() (1)

() (2)

Ряды (1) и (2) при больших сходятся медленно, но, учитывая периодичность функций и и формулы приведения тригонометрических функций, легко заключить, что достаточно уметь вычислять и для промежутка