АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Начала алгебры. Буквенные выражения (выражения с переменными). Числовое значение буквенного выражения. Допустимые значения перемен­ных. Подстановка выражений вместо переменных. [Почему навязывается представление о буквенном выражении, как о выражении с переменной? Если a — сторона квадрата, а S=a ² — его площадь, то здесь есть буквенное выражение, но нет переменной, пока не поставлена задача следить за изменениями S при изменении a. ]

Преобразование буквенных выражений на основе свойств арифметиче­ских действий. Равенство буквенных выражений. Тождество.

Многочлены. Степень с натуральным показателем и ее свойства. Од­ночлены и многочлены. Степень многочлена. Сложение, вычитание, умно­жение многочленов. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности. Формула разности квадратов. Преобразование целого вы­ражения в многочлен. Разложение многочлена на множители.

Многочлены с одной переменной. Корень многочлена.

Алгебраические дроби. Понятие алгебраической дроби. Основное свойство алгебраической дроби. Сокращение дробей. Сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей. Степень с целым показателем и ее свойства.

Рациональные выражения и их преобразования. Доказательство тож­деств.

Квадратные корни. Свойства арифметических квадратных корней и их применение к преобразованию числовых выражений и вычислениям. [Здесь усматривается противоречие с предложением перенести преобразования иррациональных выражений в 10-11 классы.]

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Уравнения. Уравнение с одной переменной. Корень уравнения.

Свойства числовых равенств. Равносильность уравнений.

Линейное уравнение. Квадратное уравнение: формула корней квадрат­ного уравнения, теорема Виета. Решение уравнений, сводящихся к линейным и квадратным. Примеры решения уравнений третьей и четвертой степени разложением на множители; биквадратное уравнение.

Решение дробно-рациональных уравнений.

Уравнение с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя переменными, примеры решения уравнения в целых числах.

Система уравнений с двумя переменными, решение системы. Равно­сильность систем. Система двух линейных уравнений с двумя переменными; решение подстановкой и сложением.

Примеры решения нелинейных систем с двумя переменными.

Решение текстовых задач алгебраическим способом.

Декартовы координаты на плоскости. Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными. График линейного уравнения с двумя пе­ременными. Угловой коэффициент прямой; условие параллельности прямых. Графическая интерпретация систем уравнений с двумя переменными.

Неравенства. Числовые неравенства и их свойства.

Неравенство с одной переменной. Равносильность неравенств. Линей­ные неравенства с одной переменной. Квадратные неравенства. Системы не­равенств с одной переменной. [Почему неравенство x ² – 3 x + 2 > 0 решать учим, а то же неравенство, записанное в виде (x – 1)(x – 2) > 0 — нет? В чем экономия? Надо изучать метод интервалов, но без опоры на непрерывность функции, которой нет в программе, а на свойство двучлена (x – a) менять знак при переходе через точку x = а. И не будет никакой перегрузки.]

ФУНКЦИИ

Основные понятия.

Понятие функции. Область определения и область значений функции. Способы задания функции. График функции, возрастание и убывание функ­ции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, проме­жутки знакопостоянства. Чтение и построение графиков функций.

Примеры графиков зависимостей, отражающих реальные процессы.

Некоторые элементарные функции. Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональную зависимости, их графики. Линейная функция, ее график, геометрический смысл коэффициентов; свойства линейной функ­ции. Квадратичная функция, ее график; координаты вершины параболы, ось симметрии. Свойства квадратичной функции. Степенные функции с натуральным показателем 2 и 3, их графики и свойства. Графики функций: корень квадратный, корень кубический, модуль.

Числовые последовательности. Понятие числовой последовательно­сти. Задание последовательности рекуррентной формулой и формулой п-го [ n -го] члена.

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы п-го [ n -го] члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых п членов. Изображение членов арифметической и геометрической прогрессий точками координатной плоскости. Линейный и экспоненциальный рост. Сложные про­центы. [Сложные проценты как иллюстрация на месте, а как понятие — слишком поздно в 9 классе.]