АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫМАТРИЦ
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-42
Мариненко В.В.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Скиба С.В.
Гомель 2003
Содержание
Введение
1. Алгебраические группы матриц
1.1 Примеры алгебраических групп матриц
1.2 О полугруппах
1.3 Компоненты алгебраической группы
1.4 О 
-группах
2 Ранг матрицы
2.1 Возвращение к уравнениям
2.2 Ранг матрицы
2.3 Критерий совместности
3 Линейные отображения. Действия с матрицами
3.1 Матрицы и отображения
3.2 Произведение матриц
3.3 Квадратные матрицы
Заключение
Список использованных источников
Введение
Множество 
матриц 
-ой степени над 
будем рассматривать как аффинное пространство 
с имеющейся на ней полиномиальной топологией. Алгебраические группы матриц определяются как невырожденные части алгебраических множеств из , являющиеся группами относительно обычного матричного умножения. Простейший пример такой группы - общая линейная группа 
. В настоящем параграфе мы начнем систематическое изучение алгебраических матричных групп.
Все топологические понятия относятся к полиномиальной топологии; черта обозначает замыкание в , диез - замыкание в , бемоль - взятие невырожденной части, т. е. 
- совокупность всех невырожденных матриц из 
. Иногда, допуская вольность, мы употребляем для групп те же понятия, что и для подлежащих алгебраических множеств, - например, говорим об общих точках групп; это не должно вызывать недоразумений.
1. Алгебраические группы матриц
Примеры алгебраических групп матриц
Классические матричные группы - общая, специальная, симплектическая и ортогональная:
|
|
где 
- единичная матрица и штрих обозначает транспонирование.
Диагональная группа 
, группы клеточно-диагональных матриц данного вида. Треугольная группа 
(для определенности --- с нижним нулевым углом), унитреугольная группа 
(треугольные матрицы с единичной диагональю), группы клеточно-треугольных матриц данного вида.
Централизатор произвольного множества из в алгебраической группе 
, нормализатор замкнутого множества из в .
Пересечение всех алгебраических групп, содержащих данное множество матриц 
из --- алгебраическая группа. Она обозначается 
и называется алгебраической группой, порожденной множеством .
Каждую алгебраическую линейную группу из можно изоморфно --- в смысле умножения и полиномиальной топологии --- отождествить с замкнутой подгруппой из 
в силу формулы
Такое отождествление позволяет при желании ограничиться рассмотрением только таких групп матриц, которые сами являются алгебраическими множествами (а не их невырожденными частями). Это дает другое оправдание тем вольностям в терминологии, которые упоминались в начале параграфа.
Множество всех матриц из , оставляющих инвариантной заданную невырожденную билинейную форму 
на 
.
Пусть --- алгебра над конечной размерности (безразлично, ассоциативная или нет), 
--- группа всех ее автоморфизмов. Фиксируя в какую-нибудь базу 
и сопоставляя автоморфизмам алгебры их матрицы в этой базе, мы получим на строение алгебраической группы. Действительно, пусть
т. е. 
--- структурные константы алгебры . Пусть далее
|
|
где 
. Тогда задается в матричных координатах 
очевидными полиномиальными уравнениями, вытекающими из соотношений
Указать в приведенных выше примерах определяющие уравнения, найти общую точку, если она есть.
В дальнейшем нам встретится еще много примеров и конструкций алгебраических матричных групп.
1.1.1 Если матричная группа 
содержит алгебраическую подгруппу 
конечного индекса, то сама алгебраическая.
Доказательство. Пусть 
- аннулятор группы в 
, 
- его корень в 
. Надо показать, что 
. Пусть, напротив, 
. Пусть 
- смежные классы 
по 
. Для каждого 
выберем многочлен
и положим
Очевидно, 
, 
. Получили противоречие.
Пусть --- алгебраическая группа, 
, 
--- подмножество и замкнутое подмножество из . Тогда множества
где 
, замкнуты. Если тоже замкнуто и 
--- общее поле квазиопределения для , , , то 
, 
, 
квазиопределены над . В частности, если существует хотя бы одно 
с условием 
(соответственно, 
, 
), то можно считать, что 
(см. 7.1.5).
Если на множестве 
выполняется теоретико-групповое тождество 
, то оно выполняется и на его замыкании 
. В частности, коммутативность, разрешимость, нильпотентность матричной группы сохраняются на ее замыкании в полиномиальной топологии.
О полугруппах
Определим действие элементов из 
на рациональные функции из 
, 
, полагая
Для каждого 
отображение 
(сдвиг аргумента) есть автоморфизм поля 
. Отображение 
есть изоморфизм полной линейной группы в группу автоморфизмов расширения 
.
Имеет место следующее предложение.
1.2.1 Все замкнутые (в полиномиальной топологии) полугруппы из являются группами. Более общно: замыкание 
произвольной полугруппы 
--- группа. Более точно: если 
--- аннулятор 
в 
, то совпадает с
|
|
Здесь вместо 
можно написать 
.
Доказательство. Во-первых, 
и, значит, 
. Действительно, если 
, 
и 
, то 
, т. е. . Подпространство 
многочленов из 
степени 
отображается оператором 
на себя, так как оно конечномерно, а опрератор обратим. Но тогда и всё 
отображается на себя, как объединение всех 
.
Во-вторых, 
, т. е. 
для каждого . Действительно, пусть 
. По уже доказанному, 
. Найдём 
с условием 
. Тогда 
.
В-третьих, 
, т. е. 
для всех , 
. Действительно, 
. Предложение доказано.
Таким образом, теория алгебраических полугрупп из 
исчерпывается теорией алгебраических групп.
Отметим ещё одно полезное предложение.
1.2.2 Пусть алгебраическая группа 
неприводима, т. е. 
--- многообразие, --- густое подмножество, плотное в . Тогда каждый элемент 
является произведением двух элементов из ; в частности, если 
--- подгруппа, то она совпадает с .
Доказательство. Множества 
и 
тоже густые и плотные, поэтому пересечение 
непусто (см. п. 8.2).
Если --- полугруппа из 
, то 
.