Задачи, обладающие сферической симметрией

Примеры решения задач электростатики

 

Пусть область в симметрична относительно начала координат ; в этой области введены сферические координаты .(См. Приложение.)

Пусть векторное поле обладает свойством:

= = (1)

В этом случае говорят, что векторное поле обладает сферической симметрией; обычно используется запись .

Пусть значение скалярного поля в любой точке поля зависит только от . В этом случае говорят, что скалярное поле обладает сферической симметрией; обычно используется запись .

 

Если точка принадлежит области определения векторного поля , то

, (2)

или, что то же,

. (2+)

Действительно, если бы вектор был отличен от нуля в точке (центре симметрии), то он имел бы в этой точке некоторое определенное направление (в силу однозначности вектор-функции ); тем самым это направление было бы выделенным и симметрия была бы нарушена.

 

Пусть - дифференцируемое скалярное поле. Тогда

(3)

Векторное поле обладает сферической симметрией; следовательно, если это поле определено в точке , то в силу (2)

(4)

или

. (4+)

(объясните).

Будем рассматривать задачи на нахождение векторов электрического поля и электростатического потенциала , если известны распределение заряда и свойства среды.

В задачах со сферической симметрией будем полагать, что система зарядов находится в ограниченной области пространства, суммарный заряд системы конечен.

 

Применение электростатической теоремы Гаусса в условиях сферической симметрии. Нахождение .

Пусть распределение заряда обладает сферической симметрией. Пусть известны объемная плотность заряда и относительная диэлектрическая проницаемость среды .

Фиксируем некоторое значение координаты и найдем . Для этого введем вспомогательную Гауссову поверхность в виде сферы радиуса с центром в начале координат. В соответствии с электростатической теоремой Гаусса

, (5)

где - заряд, находящийся внутри поверхности .

В силу сферической симметрии во всех точках поверхности вектор имеет одинаковую абсолютную величину и представляется в виде:

. (6)

Поэтому поток вектора через поверхность в левой части соотношения (5) определяется выражением:

(7)

Из (5) и (7) получаем:

. (8)

Рассмотрим различные случаи распределения заряда при наличии сферической симметрии. Будем считать, что заряженные тела не являются проводниками (этот случай рассмотрим отдельно).

 

А. В начале координат расположен точечный заряд .

, . (9)

Точка - особая точка поля .

 

Б. Заряд распределен равномерно на сфере радиуса .

. (10)

 

В. Заряжено объемное тело: шар или система шаровых слоев. При этом объемная плотность заряда - кусочно непрерывная функция.

Выразим через объемную плотность заряда (см. Приложение).

. (11)

Здесь - переменная интегрирования.

 

Замечание 1. При решении конкретной задачи бывает легче найти заряд из физических соображений, чем формальным интегрированием из (11).

 

Из соотношений (8) и (11) получаем:

, . (12)

 

Замечание 2. При решении конкретной задачи бывает проще не формально рассчитать интеграл (12), а осмысленно применить к своей задаче теорему Гаусса, следуя описанной здесь методике (начиная с соотношения (5))

 

Поле , создаваемое объемным телом, не имеет особых точек и определено во всех точках пространства, включая начало координат. В силу свойства (2+) имеем

. (13)

Кроме того, поле , создаваемое объемным телом, является непрерывной функцией; следовательно,

. (14)

Итак, кусочно-непрерывная объемная плотность заряда при наличии сферической симметрии удовлетворяет соотношению (14), а также ограничению

, (15)

которое обусловлено конечностью суммарного заряда рассматриваемой системы тел.

 

 

Нахождение напряженности , вектора поляризованности и электростатического потенциала .

Будем полагать, что среда является линейной, изотропной, не сегнетоэлектрической. Напряженность электрического поля связана с индукцией соотношением:

. (16)

Относительная диэлектрическая проницаемость среды - скалярная функция, удовлетворяющая ограничению:

. (17)

Имеет место соотношение

, (18)

где - вектор поляризованности.

Соотношение

(19)

в условиях сферической симметрии принимает вид:

. (19+)

Воспользуемся известной формулой для потенциала в произвольной точке :

, (20)

где - точка, в которой мы полагаем потенциал равным нулю.

Так мы полагаем, что заряды сосредоточены в ограниченной области пространства, естественно положить потенциал равным нулю на бесконечности.

Учитывая сказанное и принимая во внимание сферическую симметрию, соотношение (20) запишем в виде:

. (21)

 

 

Задача 1. Шаровой слой с внутренним радиусом и внешним радиусом заряжен с плотностью . Слой заполнен диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью , . Слой помещен в вакуум.

Здесь и - константы соответствующих размерностей; укажите эти размерности. Объясните ограничение .

Найдите векторы электрического поля и электростатический потенциал . Изобразите эскизы графиков , рассмотрев различные знаки константы .

 

 

Решение. Совместим начало координат с центром шарового слоя. Ясно, что задача обладает сферической симметрией. Следовательно, искомые поля обладают соответствующими свойствами (см. выше).

Объемная плотность, соответствующая рассматриваемому распределению заряда, задается кусочно непрерывной функцией:

. (22)

 

Относительная диэлектрическая проницаемость среды задается кусочно непрерывной функцией:

. (23)