Применение теоремы Гаусса.

Фиксируем некоторое значение координаты и найдем . Для этого введем вспомогательную Гауссову поверхность в виде сферы радиуса с центром в начале координат. В соответствии с электростатической теоремой Гаусса

, (*)

где - заряд, сосредоточенный внутри поверхности .

Из (*) следует (см. равенства (5)-(8)):

, .

В рассматриваемой задаче

Таким образом,

, (61)

, (62)

Потенциал рассчитываем по формуле (21). Имеем:

(63)

2. Задачи, обладающие цилиндрической (азимутальной) симметрией. Случай отсутствия зависимости полей от продольной координаты .

Пусть введены цилиндрические координаты . (См. Приложение. Не путайте координату со сферической координатой, обозначенной той же буквой.) Пусть область в обладает азимутальной симметрией (т.е. симметрией по углу ). Ось симметрии – ось .

Будем рассматривать скалярные поля, зависящие только от полярного радиуса , и векторные поля, обладающие свойством:

= . (1)

Здесь - орт (в точке М) цилиндрической системы координат. Понятно, что такие векторные и скалярные поля обладают азимутальной симметрией: их значения не зависят от полярного угла .

Если ось принадлежит области определения векторного поля , то

. (2)

Действительно, если бы вектор был отличен от нуля на оси симметрии, то он имел бы в точках этой оси некоторое определенное направление (в силу однозначности вектор-функции ); тем самым это направление было бы выделенным и симметрия была бы нарушена, появилась бы зависимость поля от угла .

Будем рассматривать задачи на нахождение векторов электрического поля и электростатического потенциала , если известны распределение заряда и свойства среды.

Заметим, что зависимость полей только от полярного радиуса имеет место в том случае, если электростатическое поле создается азимутально-симметричными системами зарядов, имеющими бесконечную протяженность вдоль оси (цилиндр, цилиндрическая поверхность, нить и т.п.). Именно этот случай мы и будем рассматривать.

Применение электростатической теоремы Гаусса. Нахождение .

Пусть известны объемная плотность заряда и относительная диэлектрическая проницаемость среды . (Здесь - полярный радиус).

Фиксируем некоторое значение координаты и найдем . Для этого введем вспомогательную Гауссову поверхность в виде цилиндра единичной длины радиуса , ось симметрии которого совпадает с осью . В соответствии с электростатической теоремой Гаусса

, (5)

где - заряд, находящийся внутри поверхности .(Индекс 1 подсказывает, что заряд находится в цилиндре единичной длины.)

Поток вектора через торцы цилиндра равен нулю. (подумайте, почему.)

Во всех точках боковой поверхности цилиндра вектор имеет одинаковую абсолютную величину и представляется в виде:

. (6)

Поэтому поток вектора через поверхность в левой части соотношения (5) определяется выражением:

(7)

Из (5) и (7) получаем:

. (8)

Замечание. При решении конкретной задачи бывает проще не формально воспользоваться формулой (8), а осмысленно применить к своей задаче теорему Гаусса, следуя описанной здесь методике (начиная с соотношения (5))

Нахождение напряженности , вектора поляризованности и электростатического потенциала .

Будем полагать, что среда является линейной, изотропной, не сегнетоэлектрической. Напряженность электрического поля связана с индукцией соотношением:

. (9)

Относительная диэлектрическая проницаемость среды - скалярная функция, удовлетворяющая ограничению:

Имеет место соотношение

, (10)

где - вектор поляризованности.

Соотношение

(11)

в условиях зависимости полей только от полярного радиуса принимает вид:

. (12)

Воспользуемся известной формулой для потенциала в произвольной точке :

, (13)

где - точка, в которой мы полагаем потенциал равным нулю.

Мы рассматриваем здесь заряженные тела, имеющие бесконечную протяженность вдоль оси . Поэтому потенциал не может считаться равным нулю на бесконечности (мы это покажем на примере). Соотношение (13) запишем в виде: