ЛЕКЦИЯ 9
Тема: «Подъемная сила Жуковского. Трехмерное потенциальное течение жидкости. Индуктивное сопротивление»
Теорема Н.Е. Жуковского о подъемной силе
Проблема подъемной силы имеет очень давнюю историю. Первая попытка исследования природы подъемной силы была сделана Леонардо да Винчи в 1505 г. Объясняя причину возникновения подъемной силы птицы, он считал, что из-за быстрых ударов крыльями воздух под ними уплотняется и потому поддерживает птицу, Эта гипотеза, основанная на сжимаемости воздуха, была ошибочной, т.к. применялась к случаю движения с малыми скоростями, когда свойство сжимаемости воздуха практически не проявляется.
В 1852 г. Магнус показал, что отклонение от вертикальной плоскости вращающихся снарядов возникает из-за взаимодействия двух потоков воздуха: набегающего на снаряд и вращающегося вместе со снарядом. Это явление, получившее название эффекта Магнуса, было вновь исследовано Н.Е. Жуковским в 1902-1906 г.г. В результате чего появилась его работа «О присоединенных вихрях», на основании которой и была создана теория о подъемной силе крыла в плоско-параллельном потоке, которая получила огромное практическое значение и обусловила прогресс в ряде важных отраслей техники: турбостроении, авиастроении, кораблестроении.
При обтекании твердого тела плоским потенциальным потоком несжимаемой жидкости в соответствии с парадоксом Д´Аламбера на тело не действуют никакие гидродинамические силы: Fy =0, Fx = 0.
Если твердое тело бесконечной длины обтекается реальным потоком жидкости, то течение может считаться плоским, а весь поток может быть разбит на две области:
1) область внешнего потока (ОВП), где течение можно считать потенциальным, т.е. безвихревым (ω = 0);
2) область пограничного слоя (ПС), где течение вихревое (ω ≠ 0).
В соответствии с теоремой Стокса о циркуляции скорости следует, что Г = ГS = ГSПС, т.е. циркуляция скорости по любому контуру вне ПС будет одинакова, т.к. вне ПС течение потенциальное, но в тоже время:
.
Однако циркуляция скорости по контуру тела в реальном потоке равняется нулю (ГSт = 0), поскольку скорости течения на контуре равны нулю. Следовательно,
.
Поэтому, решая задачу течения жидкости вне ПС, мы обязаны рассматривать циркуляционное обтекание профиля потенциальным потоком (Г ≠0).
Таким образом, в реальном потоке циркуляция скорости Г обусловлена возникновением ПС и вихрей в нем (ω ≠ 0). Такую задачу аналитически решить очень трудно. Н.Е. Жуковский в 1905 г. предложил:
1. Реальные вихри, возникающие в ПС, и само тело заменить эквивалентной системой вихрей (присоединенные вихри):
.
2. Т.к. ПС по толщине очень мал, по сравнению с размерами тела, то принципиально возможно в первом приближении его размерами пренебречь и рассматривать потенциальное обтекание не области ПС, а самого тела, но с циркуляцией 
.
Введением присоединенных вихрей Жуковский сложную задачу обтекания твердых тел реальной жидкостью привел к более простой задаче – обтеканию потенциальным потоком области из присоединенных вихрей. Такое обтекание называется циркуляционным (Г ≠0).
При взаимодействии вихрей с плоскопараллельным потоком скорости их суммируются. Над профилем скорость частиц увеличивается, под крылом - уменьшается (рис. 9.1).
В соответствии с законом Бернулли это приводит к появлению давлений под и над крылом, т.е. к созданию подъемной силы Fy.
,
где u∞ - скорость плоскопараллельного потока;
Du - скорость вихря;
u1 – скорость над профилем;
u2 – скорость под профилем.
 |
˪α – угол атаки.
Рис. 9.1.
Рассматривая теорему об изменении количества движения
,
где 
- главный вектор всех сил, действующих на выделенный объем;
- поверхностные силы;
- объемные силы (сила тяжести),
Жуковский вывел теоретическую формулу для определения величины подъемной силы крыла конечного размаха.
Задачу о силах, действующих на твердое тело, обтекаемое циркуляционным потенциальным потоком, Жуковский решил и опубликовал в 1905 г. в работе «О присоединенных вихрях». Сейчас эта работа называется «Теорема Н.Е. Жуковского о подъемной силе». Эта теорема является фундаментальной теоремой гидромеханики.
Формулировка теоремы: силовое воздействие установившегося плоского циркуляционного потенциального потока, обтекающего твердое тело, приводится к одной силе Fу, называемой подъемной силой или силой Жуковского, которая в расчете на единицу длины тела определяется по формуле
, (9.1)
где ρ – плотность жидкости, кг/м3;
u¥ - скорость обтекания тела, м/с;
ℓ - длина тела, м;
- циркуляция скорости, м2/с.
Fx = 0 (9.2)
Из формулы (9.2) следует, что при обтекании тела установившемся потенциальным потоком невязкой жидкости тело не оказывает никакого сопротивления (Fx = 0).
Таким образом:
- в невязкой жидкости: Fx = 0, Fу = 0 (парадокс Д´Аламбера):
- в циркуляционном потенциальном потоке: Fx = 0, Fу ≠ 0;
- в вязкой жидкости: Fx ≠ 0, Fу ≠ 0 (если обтекание несимметричное).
Огромное научное и практическое значение теоремы Н.Е. Жуковского главным образом заключается в том, что она вскрывает механизм воздействия потенциального потока на обтекаемые им тела и указывает рациональные пути увеличения подъемной силы Fу. Из формулы (9.1) получаем, что, если Г = 0, то при сколь угодно большой скорости набегающего потока Fу = 0. Значит, если бы вокруг крыла самолета циркуляция скорости равнялась бы нулю, то при любой развиваемой двигателями мощности самолет от земли не мог бы оторваться.
Таким образом, главным фактором, определяющим величину Fу, является циркуляция скорости в потоке, обтекающем тело.
Следует отметить, что при обтекании тела реальным потоком, оставляя неименной скорость течения потока в бесконечности, существенно увеличить Fу можно, меняя только форму тела и угол атаки.
Для определения направления Fу необходимо вектор скорости на бесконечности u¥ перенести в начало координат и повернуть его на 900 против направления вектора циркуляции скорости Г. Направление вектора укажет направление Fу. Сила Fу может быть подъемной (направлена вверх) или топящей (направлена вниз). Направление Fу видно из формулы. Оно определяется знаком циркуляции скорости Г.
Следует отметить, что формулу Н.Е. Жуковского для подъемной силы можно записать и в другом виде. Предположим, что
, (9.3)
где Су – коэффициент подъемной силы;
b – хорда профиля, м;
u¥ - скорость невозмущенного потока, м/с.
После подстановки (9.3) в (9.1) получится
, (9.4)
где S = ℓb – площадь сечения крыла (тела), м2;
- скоростной напор, Па.
Коэффициент Су определяет зависимость циркуляции скорости Г, а, значит, и подъемной силы Fу от формы профиля и его положения в потоке (∟a).
Формулу (9.4) называют еще экспериментальной. В этом виде формула для определения подъемной силы Fу удобна для практических расчетов и широко применяется. Однако происхождение Fу в ней выражено недостаточно ясно, понять силовое воздействие потенциального потока на тело можно только, зная подлинную (теоретическую) формула Н.Е. Жуковского (9.1).