Доказательство теоремы Виета

Теорема Виета

Что называют теоремой?

Если человек обнаружил в математике какую-нибудь закономерность, позволяющую быстро решить ту или иную задачу, то ему не следует говорить о том, что он сделал открытие. Потому что может случиться так, что эта закономерность работает только для определённых случаев, а для других не работает или вовсе решает задачу неправильно.

Чтобы поделиться своим открытием с другими людьми, найденную закономерность следует сформулировать в виде утверждения, а затем доказать это утверждение, приводя неоспоримые факты.

Сформулированное утверждение называют теоремой. А доказательство теоремы состоит из фактов, логических рассуждений и вычислений, которые не оспариваются.

Например, теоремой можно назвать следующее утверждение:

«Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умнóжить на какое-нибудь число, то значение данной дроби не измéнится».

А затем привести такое доказательство:

Пусть, имеется дробь . Умнóжим числитель и знаменатель этой дроби на число с. Тогда полýчится дробь . Докáжем, что дроби и равны. То есть докажем, что равенство является верным.

Для доказательства этого равенства воспользуемся основным свойством пропорции:

От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Поэтому в получившемся равенстве можно упорядочить правую часть по алфавиту:

Поскольку равенство является пропорцией, а пропорция это равенство двух отношений, то дроби и равны. Теорема доказана.

Теорема Виета

Французский математик Франсуа Виет выявил интересную взаимосвязь между коэффициентами приведённого квадратного уравнения и корнями этого же уравнения. Эта взаимосвязь представлена в виде теоремы и формулируется так:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x ² + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней равно свободному члену.

То есть, если имеется приведённое квадратное уравнение x ² + bx + c = 0, а его корнями являются числа x ₁ и x ₂, то справедливы следующие два равенства:

Знак системы (фигурная скобка) говорит о том, что значения x ₁ и x ₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Покажем теорему Виета на примере приведённого квадратного уравнения x ² + 4 x + 3 = 0.

Мы пока не знаем какие корни имеет уравнение x ² + 4 x + 3 = 0. Но по теореме Виета можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту 4, взятому с противоположным знáком. Если коэффициент 4 взять с противоположным знáком, то получим −4. Тогда:

А произведение корней по теореме Виета будет равно свободному члену. В уравнении x ² + 4 x + 3 = 0 свободным членом является 3. Тогда:

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна −4, и равно ли произведение 3. Для этого найдём корни уравнения x ² + 4 x + 3 = 0. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:

Корнями уравнения являются числа −1 и −3. По теореме Виета их сумма должна была равняться второму коэффициенту уравнения x ² + 4 x + 3 = 0, взятому с противоположным знаком. Действительно, так оно и есть. Вторым коэффициентов в уравнении x ² + 4 x + 3 = 0 является 4. Если взять его с противоположным знаком и приравнять сумму корней x ₁ + x ₂ к этому коэффициенту, то получается верное равенство:

А произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно было равняться свободному члену уравнения x ² + 4 x + 3 = 0, то есть числу 3. Видим, что это условие тоже выполняется:

Значит выражение является справедливым.

Рассмотрим квадратное уравнение x ² − 8 x + 15 = 0. По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Второй коэффициент равен −8. Если взять его с противоположным знаком, то получим 8. Тогда:

А произведение корней равно свободному члену. В уравнении x ² − 8 x + 15 = 0 свободным членом является 15. Тогда:

Теперь проверим действительно ли сумма корней равна 8, и равно ли произведение 15. Для этого найдём корни данного уравнения. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента. В этот раз пропустим нéкоторые подробные записи:

Видим, что корнями уравнения x ² − 8 x + 15 = 0 являются числа 5 и 3. Их сумма равна 8. То есть сумма корней равна второму коэффициенту уравнения x ² − 8 x + 15 = 0, взятому с противоположным знаком.

А произведение чисел 5 и 3 равно 15. То есть равно свободному члену уравнения x ² − 8 x + 15 = 0.

Значит выражение является справедливым.

Замечание. Чтобы теорема Виета выполнялась, квадратное уравнение обязательно должно быть приведённым и иметь корни.

Например, рассмотрим квадратное уравнение x ² − 2 x + 4 = 0. Напишем сумму и произведение корней этого уравнения:

Но уравнение x ² − 2 x + 4 = 0 не имеет корней, сумма которых равна 2, а произведение которых равно 4. Убедиться в этом можно, вычислив дискриминант:

D ₁ = k ² − ac = (−1)² − 1 × 4 = −3

А значит записывать выражение не имеет смысла.

Теорема Виета полезна тем, что позволяет до начала решения узнать знаки корней уравнения.

Например, запишем для уравнения x ² − 5 x + 6 = 0 сумму и произведение его корней. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Посмотрев на эти два равенства можно сразу понять, что оба корня должны быть положительными. Потому что произведение x ₁ × x ₂ = 6 будет выполняться только в двух случаях: если значения x ₁ и x ₂ положительны либо они оба отрицательны. Если эти значения будут отрицательными, то не будет выполняться равенство x ₁ + x ₂ = 5, поскольку его правая часть равна положительному числу. А значения x ₁ и x ₂ должны удовлетворять как равенству x ₁ + x ₂ = 5, так и равенству x ₁ × x ₂ = 6.

Ещё одна польза от теоремы Виета в том, что корни можно найти методом подбора. В данном примере корни должны быть такими, чтобы они удовлетворяли как равенству x ₁ + x ₂ = 5 так и равенству x ₁ × x ₂ = 6. Очевидно, что таковыми являются корни 3 и 2

Значит, x ₁ = 3, x ₂ = 2

Доказательство теоремы Виета

Пусть дано приведённое квадратное уравнение x ² + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что равенства x ₁ + x ₂ = − b и x ₁ × x ₂ = c имеют место быть.

Вспомним формулы корней квадратного уравнения:

Найдём сумму корней x ₁ и x ₂. Для этого подставим в выражение x ₁ + x ₂ вместо x ₁ и x ₂ соответствующие выражения из правой части формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что в приведённом квадратном уравнении x ² + bx + c = 0 старший коэффициент a равен единице. Тогда в процессе подстановки знаменатель станет равен просто 2

Запишем правую часть в виде дроби с одним знаменателем:

Раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Сократим дробь на 2, тогда получим − b

Значит x ₁ + x ₂ действительно равно − b

x ₁ + x ₂ = − b

Теперь аналогично докажем, что произведение x ₁ × x ₂ равно свободному члену c.

Подставим вместо x ₁ и x ₂ соответствующие выражения из формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что коэффициент a всё ещё равен единице:

Чтобы перемнóжить дроби, нужно перемнóжить их числители и знаменатели:

В числителе теперь содержится произведение суммы двух выражений и разности этих же выражений. Воспользуемся тождеством (a + b)(a − b) = a ² − b ². Тогда в числителе полýчится А знаменатель будет равен 4

Теперь в числителе выражение (− b)² станет равно b ², а выражение станет равно просто D

Но D равно b ² − 4 ac. Подстáвим это выражение вместо D, не забывая что a = 1. То есть вместо b ² − 4 ac надо подставить b ² − 4 c

В получившемся выражении раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:

Сократим получившуюся дробь на 4

Значит x ₁ × x ₂ действительно равно c.

x ₁ × x ₂ = c

Таким образом, сумма корней приведённого квадратного уравнения x ² + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком (x ₁ + x ₂ = − b), а произведение корней равно свободному члену (x ₁ × x ₂ = c). Теорема доказана.