Теорема Виета
Что называют теоремой?
Если человек обнаружил в математике какую-нибудь закономерность, позволяющую быстро решить ту или иную задачу, то ему не следует говорить о том, что он сделал открытие. Потому что может случиться так, что эта закономерность работает только для определённых случаев, а для других не работает или вовсе решает задачу неправильно.
Чтобы поделиться своим открытием с другими людьми, найденную закономерность следует сформулировать в виде утверждения, а затем доказать это утверждение, приводя неоспоримые факты.
Сформулированное утверждение называют теоремой. А доказательство теоремы состоит из фактов, логических рассуждений и вычислений, которые не оспариваются.
Например, теоремой можно назвать следующее утверждение:
«Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умнóжить на какое-нибудь число, то значение данной дроби не измéнится».
А затем привести такое доказательство:
Пусть, имеется дробь 
. Умнóжим числитель и знаменатель этой дроби на число с. Тогда полýчится дробь 
. Докáжем, что дроби и равны. То есть докажем, что равенство 
является верным.
Для доказательства этого равенства воспользуемся основным свойством пропорции:
От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Поэтому в получившемся равенстве можно упорядочить правую часть по алфавиту:
Поскольку равенство является пропорцией, а пропорция это равенство двух отношений, то дроби и 
равны. Теорема доказана.
Теорема Виета
Французский математик Франсуа Виет выявил интересную взаимосвязь между коэффициентами приведённого квадратного уравнения и корнями этого же уравнения. Эта взаимосвязь представлена в виде теоремы и формулируется так:
Сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней равно свободному члену.
То есть, если имеется приведённое квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0, а его корнями являются числа x 1 и x 2, то справедливы следующие два равенства:
Знак системы (фигурная скобка) говорит о том, что значения x 1 и x 2 удовлетворяют обоим равенствам.
Покажем теорему Виета на примере приведённого квадратного уравнения x 2 + 4 x + 3 = 0.
Мы пока не знаем какие корни имеет уравнение x 2 + 4 x + 3 = 0. Но по теореме Виета можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту 4, взятому с противоположным знáком. Если коэффициент 4 взять с противоположным знáком, то получим −4. Тогда:
А произведение корней по теореме Виета будет равно свободному члену. В уравнении x 2 + 4 x + 3 = 0 свободным членом является 3. Тогда:
Теперь проверим действительно ли сумма корней равна −4, и равно ли произведение 3. Для этого найдём корни уравнения x 2 + 4 x + 3 = 0. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
Корнями уравнения являются числа −1 и −3. По теореме Виета их сумма должна была равняться второму коэффициенту уравнения x 2 + 4 x + 3 = 0, взятому с противоположным знаком. Действительно, так оно и есть. Вторым коэффициентов в уравнении x 2 + 4 x + 3 = 0 является 4. Если взять его с противоположным знаком и приравнять сумму корней x 1 + x 2 к этому коэффициенту, то получается верное равенство:
А произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно было равняться свободному члену уравнения x 2 + 4 x + 3 = 0, то есть числу 3. Видим, что это условие тоже выполняется:
Значит выражение является справедливым.
Рассмотрим квадратное уравнение x 2 − 8 x + 15 = 0. По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Второй коэффициент равен −8. Если взять его с противоположным знаком, то получим 8. Тогда:
А произведение корней равно свободному члену. В уравнении x 2 − 8 x + 15 = 0 свободным членом является 15. Тогда:
Теперь проверим действительно ли сумма корней равна 8, и равно ли произведение 15. Для этого найдём корни данного уравнения. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента. В этот раз пропустим нéкоторые подробные записи:
Видим, что корнями уравнения x 2 − 8 x + 15 = 0 являются числа 5 и 3. Их сумма равна 8. То есть сумма корней равна второму коэффициенту уравнения x 2 − 8 x + 15 = 0, взятому с противоположным знаком.
А произведение чисел 5 и 3 равно 15. То есть равно свободному члену уравнения x 2 − 8 x + 15 = 0.
Значит выражение является справедливым.
Замечание. Чтобы теорема Виета выполнялась, квадратное уравнение обязательно должно быть приведённым и иметь корни.
Например, рассмотрим квадратное уравнение x 2 − 2 x + 4 = 0. Напишем сумму и произведение корней этого уравнения:
Но уравнение x 2 − 2 x + 4 = 0 не имеет корней, сумма которых равна 2, а произведение которых равно 4. Убедиться в этом можно, вычислив дискриминант:
D 1 = k 2 − ac = (−1)2 − 1 × 4 = −3
А значит записывать выражение не имеет смысла.
Теорема Виета полезна тем, что позволяет до начала решения узнать знаки корней уравнения.
Например, запишем для уравнения x 2 − 5 x + 6 = 0 сумму и произведение его корней. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Посмотрев на эти два равенства можно сразу понять, что оба корня должны быть положительными. Потому что произведение x 1 × x 2 = 6 будет выполняться только в двух случаях: если значения x 1 и x 2 положительны либо они оба отрицательны. Если эти значения будут отрицательными, то не будет выполняться равенство x 1 + x 2 = 5, поскольку его правая часть равна положительному числу. А значения x 1 и x 2 должны удовлетворять как равенству x 1 + x 2 = 5, так и равенству x 1 × x 2 = 6.
Ещё одна польза от теоремы Виета в том, что корни можно найти методом подбора. В данном примере корни должны быть такими, чтобы они удовлетворяли как равенству x 1 + x 2 = 5 так и равенству x 1 × x 2 = 6. Очевидно, что таковыми являются корни 3 и 2
Значит, x 1 = 3, x 2 = 2
Доказательство теоремы Виета
Пусть дано приведённое квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Докажем, что равенства x 1 + x 2 = − b и x 1 × x 2 = c имеют место быть.
Вспомним формулы корней квадратного уравнения:
Найдём сумму корней x 1 и x 2. Для этого подставим в выражение x 1 + x 2 вместо x 1 и x 2 соответствующие выражения из правой части формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что в приведённом квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент a равен единице. Тогда в процессе подстановки знаменатель станет равен просто 2
Запишем правую часть в виде дроби с одним знаменателем:
Раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:
Сократим дробь 
на 2, тогда получим − b
Значит x 1 + x 2 действительно равно − b
x 1 + x 2 = − b
Теперь аналогично докажем, что произведение x 1 × x 2 равно свободному члену c.
Подставим вместо x 1 и x 2 соответствующие выражения из формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что коэффициент a всё ещё равен единице:
Чтобы перемнóжить дроби, нужно перемнóжить их числители и знаменатели:
В числителе теперь содержится произведение суммы двух выражений и разности этих же выражений. Воспользуемся тождеством (a + b)(a − b) = a 2 − b 2. Тогда в числителе полýчится 
А знаменатель будет равен 4
Теперь в числителе выражение (− b)2 станет равно b 2, а выражение 
станет равно просто D
Но D равно b 2 − 4 ac. Подстáвим это выражение вместо D, не забывая что a = 1. То есть вместо b 2 − 4 ac надо подставить b 2 − 4 c
В получившемся выражении раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:
Сократим получившуюся дробь на 4
Значит x 1 × x 2 действительно равно c.
x 1 × x 2 = c
Таким образом, сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком (x 1 + x 2 = − b), а произведение корней равно свободному члену (x 1 × x 2 = c). Теорема доказана.