Правило исследования функции на выпуклость (вогнутость) и определения точек перегиба

Методические указания

К типовому расчету

«Исследование функций и построение графиков»

Приложение производной к исследованию функций

Монотонность функции

Определение. Функция y = f(x) возрастает (убывает) на промежутке Х, если " х ₁, х ₂Î Х: х ₂> х ₁ Þ f(х ₂ ) > f(х ₁ ) (f(х ₂ ) < f(х ₁ )).

Теорема 1. (необходимое условие монотонности). Если дифференцируемая на (a;b) функция y = f(x) возрастает (убывает),

то f ¢(x)≥0 (f ¢(x)≤0), " x Î(a;b).

Теорема 2. (достаточное условие монотонности). Если y = f(x) дифференцируема на (a;b) и " x Î(a;b): f ¢(x)>0 (f ¢(x)<0), то функция на (a;b) возрастает (убывает).

Экстремумы функции

Определение. Точка х ₀ называется точкой локального max (min) функции y=f(x), если ∃ О_d(х ₀): f(х ₀ ) > f(х) (f(х ₀ ) < f(х)), " x ÎО_d(х ₀).

Точки локального max (min) – это точки локального экстремума, а значения функции в этих точках - экстремумы функции.

Теорема 3. (необх. условие экстремума). Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке х ₀ экстремум, то f ¢(х ₀)=0 или f ¢(х ₀) не существует. Обратное неверно.

Т.о. непрерывная функция может иметь экстремум в точках, где f ¢(х)=0 или ∄ f ¢(х), т.е. в критических точках 1 рода.

Теорема 4. (первое достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х ₀ и при переходе через нее f ¢ меняет знак с «+» на «-» (с «-» на «+»), то х ₀ – точка max (min).

Теорема 5. (второй достаточный признак экстремума). Если функция y=f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки х ₀ и выполняются условия, то

1. - точка max 2. - точка min.

Замечание. Если f ¢¢(х ₀)=0 или f ¢(х ₀) не существует, то второй признак неприменим. Также признак неудобен при громоздкой форме f ¢¢(х).

Правило исследования y=f(x) на монотонность и экстремумы

1. Найти D_f.

2. Вычислить f ¢(х) и найти критические точки 1 рода (f ¢(х)=0 или ∄ f ¢(х)).

3. Определить знак f ¢(х) в промежутках, на которые критические точки делят D_f (определить промежутки знакопостоянства функции

y=f ¢(х)).

4. Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума. Вычислить экстремумы функции.

Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Определение. График функции называется выпуклым (вогнутыми) на интервале (a;b), если он расположен ниже (выше) любой ее касательной на этом интервале.

Определение. Точки графика непрерывной функции, отделяющие его части выпуклости и вогнутости, называются точками перегиба.

Теорема 6. Если функция y=f(x) дважды дифференцируема на (a;b) и f ¢¢(х)<0 (f ¢¢(х)>0), " x Î(a;b), то график функции y=f(x) на (a;b) является выпуклым (вогнутым).

Теорема 7. (достаточное условие существования точки перегиба). Если f ¢¢(х) при переходе через точку x ₀ (в которой f ¢¢(x ₀)=0 или ∄ f ¢¢(x ₀)) меняет знак, то x ₀ – точка перегиба.

Правило исследования функции на выпуклость (вогнутость) и определения точек перегиба

1. Найти D_f.

2. Вычислить f ¢¢(х) и найти критические точки 2 рода (f ¢¢(х)=0 или ∄ f ¢¢(х)).

3. Определить знак f ¢¢(х) в промежутках, на которые критические точки делят D_f.

4. Найти найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

4. Асимптота графика функции y=f(x) – это прямая, расстояние до которой от точки М, лежащей на графике, стремится к нулю при удалении точки М от начала координат по кривой.

вертикальная асимптота x=a, если f(x) =±∞

наклонная асимптота y=kx+b, если k = b =

горизонтальная асимптота y=b – частный случай наклонной асимптоты при k =0

 

Схема исследования функции

1. Найти область определения функции. Исследовать поведение функции в точках разрыва и на бесконечности.
2. В случае, если симметрична относительно начала координат, проверить функцию на четность/нечетность; проверить также, не является ли она периодической.
3. Найти корни функции и промежутки знакопостоянства функции. Точки, в которых , т.е. корни функции, – это точки пересечения графика функции с осью Ох. Эти точки являются точками возможной перемены знака у.
4. Найти асимптоты графика функции.
5. Найти промежутки монотонности функции и точки экстремума, используя производную.
6. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба, используя вторую производную .
7. Построить график функции, используя результаты исследования. Для уточнения графика можно вычислить значения функции еще в нескольких точках, например можно найти точку пересечения с осью Оу – это точка .

Пример 1: Исследовать функцию и построить ее график.

1. Найдем область определения данной функции , т.е. .

Исследуем поведение функции на бесконечности:

аналогично .

Поведение функции вблизи точки разрыва :

; , т.е. точка разрыва второго рода.

1. Для данной функции область определения не симметрична относительно начала координат, следовательно – функция общего вида. Функция алгебраическая, следовательно, не является также и периодической.
2. Из уравнения найдем корень функции . Найдем промежутки знакопостоянства функции, используя метод промежутков.

 

 

1. Так как в точке функция терпит разрыв второго рода, то график функции имеет вертикальную асимптоту . Горизонтальных асимптот нет, т.к. (см. пункт 1). Для отыскания наклонных асимптот найдем следующие пределы:

, .

Следовательно наклонная асимптота при

 

1. Дифференцируя данную функцию, получим

.

Производная при и , не существует при . Изменение знака производной на области определения и монотонность функции , а также точки экстремума представлены на следующей схеме:

 

1. Дифференцируя дважды данную функцию, получим

.

Вторая производная не обращается в нуль, но не существует при . Однако, точка . Знаки второй производной на , а также промежутки выпуклости и вогнутости функции у представлены на схеме:

 

Так как в точке функция не определена, то точек перегиба нет.

 

1. Используя полученные данные, строим график функции, см. рис.1

 

 

Пример 2: Исследовать функцию Гаусса и построить ее график.

1. 

1. Область определения симметрична относительно точки и . Следовательно функция Гаусса является четной функцией и ее график симметричен относительно оси Оу. Дальнейшие исследования можно проводить не на всей , а только при ; построить график на правой полуплоскости и, используя четность, достроить его на левой полуплоскости.
2. Функция Гаусса положительна на : . Следовательно график функции располагается в верхней полуплоскости и не пересекает ось Ох.

 

1. График функции Гаусса имеет горизонтальную асимптоту , т.к. . Исследуем на наличие наклонных асимптот , где :

.

Таким образом, наклонных асимптот нет.

 

1. Найдем первую производную и ее корни:

Изменение знака производной на области определения функции и монотонность функции , а также точки экстремума представлены на следующей схеме:

 

1. Исследуем функцию Гаусса на выпуклость/вогнутость, вычислив вторую производную и ее корни:

; при .

Знаки второй производной на , а также промежутки выпуклости и вогнутости функции у представлены на схеме:

 

Точки перегиба , т.к.

1. Функция Гаусса пересекает ось Оу в точке .

Для уточнения найдем , это значение очень мало.

Так как при функция убывает, а при возрастает, то практически равно нулю при .

Используя результаты исследования, строим график функции Гаусса, который называется купон Гаусса (рис.2)

		Рис.2. Купон Гаусса

 

 

Варианты с 1 по 34 типового расчета