МАТЕРИАЛЫ
Для СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ СПбГЭТУ (ЛЭТИ)
Курс «Математический анализ»
Кафедра ВМ-2
Курс 1
Семестр 2
Санкт - Петербург
2012 г
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее пособие предназначено для самостоятельной работы студентов заочной и вечерней форм обучения. Пособие содержит список основных тем и разделов, изучаемых во втором семестре первого курса, а так же экзаменационные задачи и варианты контрольных работ.
Список литературы содержит учебники и пособия, которые могут помочь освоению этих курсов.
ПРОГРАММА КУРСА
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1. Множества, числа. Функции. Пределы, их свойства. Первый и второй замечательные пределы.
2. Бесконечно малые и большие величины. Эквивалентные функции. [5. Гл.5, § 13 – 18 ]
3. Непрерывность. Теорема о функциях, непрерывных на отрезке. Классификация разрывов. [5. Гл.5, § 19 ]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1. Производная функция и ее геометрический смысл. Таблица производных. Свойства дифференцируемых функций, техника дифференцирования. [2, nn.90-102], [1, с.137-155]. Производные высших порядков. [2, nn.115-118, 121-122], [1, с.155-157]. Дифференциал функции, линеаризация и связь его с приближенными вычислениями. [2, nn.103-108,119-120], [1, с.157-163]. Правило Лопиталя. [2, nn.150-151], [1, с.167-170]. Формула Тейлора и ее применение. [2, nn.123-127], [1, с.181-185].
2. Исследование функций с помощью производных: монотонность, экстремумы, наибольшее и наименьшее значения, выпуклость, вогнутость, точки перегиба, асимптоты. [2, nn.131-149], [1, с.171-181].
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Определение и свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов. [3, nn.251-253], [1, с.193-198]. Техника нахождения первообразных: непосредственное интегрирование, замена переменной, по частям. [3, nn.254-259], [1, с.198-203]. Интегрирование отдельных функций: дробно-рациональных, тригонометрических, иррациональных etc. [3, nn.260-277], [1, с.203-219].
2. Определенный интеграл: определение, свойства и геометрический смысл. [3, nn.282-295], [1, с.221-224,226-230, 233]. Формула Ньютона-Лейбница. [3, nn.296-298], [1, с.224-226]. Вычисление определенного интеграла заменой переменной, по частям. [3, nn.299-304], [1, с.230-233].
3. «Неберущиеся» интегралы: эллиптические, Пуассона, Френеля. [3, nn.278-281], [1, с.219-220].
4. Приложения определенного интеграла. [3, nn.305-308, 316-347], [1, с.237-254].
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Пределы, непрерывность и дифференцируемость функций нескольких переменных. Производная по направлению. Градиент.
ЛИТЕРАТУРА
1. Д.Т.Письменный. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1. М.: Айрис - пресс, 2004.
2. Г.М.Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3-х томах. Т.1 М.: Физматлит, 2001.
3. Г.М.Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3-х томах. Т.2 М.: Физматлит, 2001.
4. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под редакцией А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. М.,"Наука", 1986.
5. Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Дифференциальное и интегральное исчисления. Ч.1-2 М.: Дрофа,2003.
ВОПРОСЫК ЭКЗАМЕНУ
1. Пределы, Свойства пределов.
2. Замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
3. Непрерывность. Теорема о функциях, непрерывных на отрезке. Виды разрывов.
4. Производная функция. Геометрическая интерпретация производной.
5. Таблица производных и свойства дифференцируемых функций.
6. Техника дифференцирования.
7. Дифференциал функции.
8. Правило Лопиталя.
9. Производные высших порядков.
10. Формула Тейлора и ее применение.
11. Исследование функций с помощью первой производной: монотонность, экстремумы, наибольшее и наименьшее значения
12. Асимптоты графика функции.
13. Исследование функций с помощью второй производной: выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
14. Определение и свойства неопределенного интеграла (первообразной).
15. Таблица интегралов.
16. Техника вычисления первообразных: непосредственное интегрирование, замена переменной.
17. Формула интегрирования по частям.
18. Интегрирование дробно-рациональных функций.
19. Определенный интеграл: определение, свойства и геометрический смысл.
20. Способы вычисления определенного интеграла.
21. Формула Ньютона-Лейбница.
22. Приложения интеграла: площадь, длина дуги, объем и площадь тел вращения.
23. Частные производные функций нескольких переменных. Полный дифференциал.
24. Частные производные высших порядков.
25. Производная по направлению. Градиент.
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа №1. 1 вариант
Дифференциальное исчисление.
1. Найдите 
2. Найдите 
.
3. Проверьте непрерывность функции 
для 
.
Для точек разрыва установите их характер. При каком 
функция будет непрерывной?
4. Найдите производные функций:
а). 
.
б). 
.
с). 
.
5. Вычислите дифференциалы первого и второго порядка для функции 
.
6. Проведите исследование функции и постройте эскиз ее графика:
а). 
7.Найдите полный дифференциал функции 
.
8.Проверить, что функция 
удовлетворяет дифференциальному уравнению 
.
9.Найти производную функции 
в точке М(1,1,0)
по направлению к точке А(1,2,-1).
Контрольная работа №2. 1 вариант