Р Е Ш Е Н И Е З А Д А Ч П О Ф И З И К Е
ЧАСТЬ 3
ОПТИКА. АТОМНАЯ ФИЗИКА. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА.
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
Методические указания для заочников
Тверь 2016
УДК 53(075.8)
ББК 22.3я7
Предназначен для студентов первого курса заочного отделения ИДПО, а также для студентов дневного отделения факультетов ПИЭ, ИТ и ХТ. Содержит примеры решения и условия задач, предлагаемых при выполнении контрольных работ, необходимые справочные данные и список рекомендуемой литературы.
Обсужден и рекомендован к печати на заседании кафедры общей физики (протокол № от 2016 г.)
Составители: Испирян С.Р., Кривенко И.В.
© Тверской государственный
технический университет, 2012
Волновая оптика
1. В волновой оптике рассматривают свет как электромагнитную волну. Скорость распространения электромагнитной волны u зависит от диэлектрических и магнитных свойств среды. В вакууме u = c = 3·108 м/с. В среде с абсолютным показателем преломления n свет распространяется со скоростью
.
Для воздуха абсолютный показатель преломления 
; для других прозрачных сред 
. Скорость связана с длиной волны l и частотой n соотношением
.
При переходе света из среды с показателем преломления n 1 в среду с показателем преломления n 2 (на рис. 67 n 1 < n 2) выполняются законы − отражения
;
− преломления
,
где a – угол падения; b – угол отражения; g – угол преломления (все углы отсчитываются не от поверхности раздела сред, а от нормали к ней!).
Примерный диапазон длин волн (в вакууме), соответствующий видимому свету, включает значения от 0,40 мкм (фиолетовый свет) до 0,76 мкм (красный свет). Непосредственно примыкающий к видимому свету диапазон больших длин волн (λ > 0,76 мкм) относится к инфракрасной области, а меньших длин волн (λ < 0,38 мкм) – к ультрафиолетовой области.
|
|
Световая волна, в которой происходят колебания одной строго определенной частоты (соответственно, имеющая одну длину волны), называется монохроматической. В немонохроматической волне присутствуют колебания различных частот (предельный случай – белый свет, содержащий все частоты видимого диапазона).
2. Интерференция света – это явление перераспределения световой энергии в пространстве в результате наложения когерентных(имеющих одинаковую частоту и постоянную во времени разность фаз) световых волн. При этом в одних точках пространства возникают колебания с максимальной амплитудой (имеет место максимальная интенсивность) – освещенные участки, а в других – с минимальной амплитудой (минимум интенсивности) – темные участки. Если свет не является монохроматическим, интерференционная картина становится цветной, содержащей различные линии спектра.
Если один луч проходит путь длиной l1 в среде с показателем преломления n1, а другой луч – путь l2 в среде с показателем преломления n2, то оптическая разность хода этих лучей
.
Для светлых точек картины должно соблюдаться условие максимума
D = k×l,
для темных точек – условие минимума
,
где k = 0, 1, 2,... – целое число.
3. Дифракцией света называется огибание светом препятствий, размер которых соизмерим с длиной световой волны λ. При этом на экране за препятствием наблюдается картина, состоящая из максимумов и минимумов, т.е. освещенных и темных участков.
|
|
Одним из возможных препятствий для получения дифракционной картины является длинная узкая щель.
При прохождении через щель шириной b нормально падающей на нее плоской световой волны на экране Э за щелью наблюдается картина, состоящая из светлых и темных полос (максимумов и миниму-мов освещенности).
В центре картины (точка О) наблюдается самая яркая освещенная полоса (централь-ный максимум), далее темные полосы – первые минимумы, затем светлые полосы – первые максимумы, затем вторые минимумы и так далее.
Условие, при котором в произвольной точке М экрана наблюдается минимум:
где b – ширина щели, φ – угол между нормалью к щели и направлением на точку М (угол дифракции), m = 1, 2, 3... – номер минимума, λ – длина волны излучения.
Условие, при котором в точке М экрана наблюдается максимум:
где m = 1, 2, 3... – номер максимума.
Другим препятствием, на котором можно наблюдать дифракцию света, является дифракционная решетка.
Дифракционная решетка представ-ляет собой пластинку с множеством параллельных узких щелей одинаковой ширины b, находящихся на расстоянии d друг от друга (см. рис.). Расстояние между центрами соседних щелей d называется постоянной (или периодом) дифракционной решетки.
Дифракционная картина на экране после дифракционной решетки представляет собой ряд освещенных пятен – главных максимумов. Углы, под которыми наблюдаются главные максимумы, находят из формулы:
.
Число k называется порядком главного максимума. k = 0, 1, 2,... – целое число.
Если дифракционную решетку облучать белым светом или светом сложного состава с различными длинами волн, то максимумы от каждой длины волны получаются на экране в разных местах, т.е. после решетки будет видна цветная картина, состоящая из нескольких спектров. Таким образом, дифракционные решетки используют для исследования света по спектральному составу.
|
|
Пример 1.
Луч света падает из воздуха на границу раздела с веществом, в котором скорость света u = 1,5·108 м/с. Определить отношение синуса угла падения к синусу угла преломления.
Решение:
По закону преломления 
. Абсолютный показатель преломления вещества 
; показатель преломления воздуха . Тогда 
.
Пример 2.
От двух когерентных источников S1 и S2 на экран падает свет с длиной волны λ = 0,8 мкм. На экране наблюдается интерференционная картина, причем в точке М находится светлое пятно. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно к нему поместили мыльную пленку с показателем преломления n = 1,33, в точке М образовалось темное пятно. Какова минимальная толщина пленки?
Решение:
До внесения пленки в точке М наблюдается интерференционный максимум, т.е. разность хода лучей от источников D1 = l1 – l2 = k1×l, где k1 – целое число.
После внесения пленки максимум меняется на минимум, т.к. из-за того, что часть второго луча проходит в среде с показателем преломления n = 1,33, изменяется 
оптическая разность хода лучей. Оптическая длина пути второго луча в этом случае 
. Тогда разность хода 
, где k2 – целое число.
Найдем разницу разностей хода 
. Толщина пленки будет минимальная, если 
. Тогда 
. Следовательно, 
.
Пример 3.
Дифракционная решетка длиной l = 5 мм имеет N = 2000 штрихов. Сколько линий (главных максимумов) будет содержать спектр, образующийся при нормальном падении на нее плоской монохроматической волны длиной λ = 420 нм?
Решение:
Согласно условию главного максимума дифракционной решетки , где k = 0, 1, 2,... – порядковый номер максимума. Период дифракционной решетки d – это расстояние между ее штрихами, тогда 
. Угол, под которым можно наблюдать максимумы после дифракционной решетки, может изменяться от 0 до 900. Тогда 
и
Т. к. порядок максимума может быть только целым числом, то 
. Причем округление следует проводить только в меньшую сторону, т.к. больше, чем 900 угол отклонения лучей на решетке быть не может.
Помимо этого следует учесть еще и центральный максимум, для которого 
, а также то, что дифракционная картина является симметричной и по другую сторону от центрального максимума наблюдается еще пять.
Таким образом, общее число главных максимумов, которые содержит спектр данной дифракционной решетки 
.
Тепловое излучение и давление света
1.Испускание электромагнитных волн нагретыми телами, происходящее за счет их внутренней энергии, называется тепловым излучением. Основные характеристики источников теплового излучения:
− Энергетический поток Ф – энергия W, излучаемая (передаваемая, поглощаемая, отражаемая, пропускаемая) за единицу времени:
, [ Вт ].
− Средний энергетический поток за промежуток времени Δt
.
− Излучательность (энергетическая светимость) R – энергия, излучаемая за единицу времени единицей площади поверхности тела во всем диапазоне длин волн (от 0 до ¥). При равномерной плотности излучения
, [ 
].
− Спектральная плотность энергетической светимости (спектральная излучательная способность)
, [ 
].
где dRl – энергия, излучаемая за единицу времени с единицы площади поверхности в интервале длин волн от l до l + dl.
2. Характеристики приемника излучения (поверхности, на которую падает свет):
− Коэффициент отражения
,
где Фпад – падающий на поверхность тела энергетический поток; Фотр – часть этого потока, отраженная поверхностью. Для идеально зеркальной поверхности 
.
− Коэффициент пропускания
,
где Фпад – падающий на поверхность тела энергетический поток; Фпрош – часть этого потока, прошедшая сквозь поверхностью. Для непрозрачной поверхности 
.
− Спектральная поглощательная способность (коэффициент поглощения, степень черноты)
,
где Фпад – падающий на тело энергетический поток; Фпогл – часть этого потока, поглощенная телом. Поглощательная способность тела зависит от его температуры и длины волны 
Тело, поглощающее весь падающий на него энергетический поток независимо от длины волны и температуры, называется абсолютно черным телом (АЧТ). Для АЧТ a = 1. Тело, у которого коэффициент поглощения не зависит от длины волны, называется серым. Для серого тела a = a (Т) и a ≠ a (λ).
Характеристики приемника излучения связаны соотношением 
.
3. Законы теплового излучения
− Закон Кирхгофа − отношение спектральной плотности излучательности к спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела и является универсальной (одинаковой для всех тел) функцией длины волны и температуры:
.
− Закон Стефана – Больцмана – излучательность АЧТ прямо пропорциональна 4-ой степени абсолютной температуры тела:
,
где σ – постоянная Стефана – Больцмана.
С учетом закона Кирхгофа для серого тела 
.
− Закон Вина – длина волны lm , на которую приходится максимум излучения АЧТ, обратно пропорциональна его абсолютной температуре Т:
,
где b – постоянная в законе Вина.
4. Давление, которое оказывает нормально падающий свет на поверхность
,
где Фпад – падающий на поверхность тела энергетический поток; ρ – коэффициент отражения поверхности; S – площадь поверхности; с – скорость света в вакууме.
Т.к. свет представляет поток фотонов, то 
, где Nф – количество падающих на поверхность фотонов, 
– энергия фотона, Δt – время облучения.
Пример.
Поверхность Солнца имеет температуру Т = 6000 К. Считая Солнце абсолютно черным телом, определить энергию, излучаемую Солнцем с участка поверхности 1 мм2 за одну минуту, а также длину волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости Солнца при данной температуре.
Решение:
Согласно закону Стефана-Больцмана, излучательность Солнца определяется как
Вт/м2
Величину энергии W можно найти по формуле
Дж.
Величину l найдем из условия задачи – она равна длине волны lmax, соответствующей максимуму энергии излучения Солнца.
Согласно закону смещения Вина
где b = 2,9×10-3м×К – постоянная Вина.
Таким образом 
Фотоны. Фотоэффект
1. Согласно представлениям квантовой теории энергия световых волн не только испускается, но и поглощается и переносится в пространстве отдельными порциями – квантами. Это позволяет рассматривать электромагнитное излучение как поток особых частиц – фотонов.
− Энергия фотона e прямо пропорциональна частоте излучения (обратно пропорциональна длине волны):
или 
,
где n – частота; λ – длина волны; с – скорость света в вакууме; h – постоянная Планка.
− Масса фотона может быть найдена из соотношения массы и энергии
.
Фотон может существовать, только если движется со скоростью света, в покое фотон не существует, следовательно, масса покоя фотона равна нулю.
− Импульс фотона
.
2. Фотоэффект – явление выбивания электронов из металла фотонами. Превращение энергии при взаимодействии фотона излучения с электроном металла описывается уравнением Эйнштейна
,
где eф – энергия фотона; Ав – работа выхода электрона из металла; 
– максимальное значение кинетической энергии выбитого электрона. Работа выхода зависит от рода металла и состояния его поверхности. Она может быть найдена в справочных таблицах для соответствующего металла.
3. Если энергии фотона недостаточно для того, чтобы выбить электрон, фотоэффект не наблюдается. Минимальная частота излучения, при которой начинается фотоэффект, называется частотой красной границы nкр . Соответствующее значение максимальной длины волны называется длиной волны красной границы lкр .
, 
.
4. Если между катодом и анодом создать «обратное» электрическое поле, т.е. на катод подать «+», а на анод «−» (U < 0), то это поле будет возвращать электроны обратно к катоду. При разности потенциалов этого поля Uз, называемой запирающим (задерживающим) напряжением все выбитые электроны будут возвращаться обратно на катод.
Запирающее напряжение находится из соотношения:
,
где е – элементарный заряд (абсолютная величина заряда электрона).
5. При прямом напряжении (на катод «−», на анод «+») электроны, вылетающие с катода, летят на анод. Когда все выбитые светом при фотоэффекте электроны достигают анода, ток, протекающий в цепи (фототок) становится насыщенным и не зависит от приложенного напряжения. Фототок насыщения может быть найден по формуле
,
где Nэ – количество выбитых электронов, е – заряд электрона, Δt – время протекания тока.
Пример
Найти максимальную скорость фотоэлектронов, вылетающих с поверхности цезия при облучении его светом с длиной волны 0,5 мкм.
Решение:
Максимальную скорость фотоэлектронов можно найти из уравнения Эйнштейна для внешнего фотоэффекта , где максимальная кинетическая энергия электронов 
, me – масса электрона, vmax – максимальная скорость выбиваемых электронов; энергия фотона 
, 
Дж∙с – постоянная Планка, 
– частота падающего света.
Тогда 
.
Работа выхода электрона Ав зависит от природы металла. Из справочных таблиц найдем значение работы выхода для цезия 
.
Подставим значение частоты, работы выхода (предварительно выразив ее в Дж (1эВ = 1,6×10-19Дж)) и массы электрона (mе = 9,11×10-31 кг) в выражение скорости электронов:
Спектр атома водорода
1. Атом водорода состоит из положительно заряженного ядра, имеющего малые по сравнения с диаметром атома размеры и массу, практически равную массе атома, вокруг которого движется по замкнутым орбитам электрон. В основе теории атома водорода Н. Бора лежат два постулата:
1) электрон в атоме водорода может находиться не на любых, а на строго определенных – стационарных орбитах, которые имеют определенные (дискретные) радиусы и которым соответствуют определенные (дискретные) значения энергии; находясь на стационарных орбитах, электрон не излучает и не поглощает энергию;
2) при переходах с одной стационарной орбиты с номером k на другую с номером n электрон излучает или поглощает энергию в виде квантов света:
,
где Еn и Еk – энергии электрона на n -той и k -той стационарных орбитах, соответственно. k и n – номера орбит (натуральные числа). Если k > n, то атом излучает квант света, если k < n, атом поглощает квант света.
2. Энергия электрона на стационарной орбите обратно пропорциональна квадрату номера орбиты
,
где Е 1 – энергия на первом уровне, 
.
3. Формула Бальмера определяет длину волны света, излучаемого или поглощаемого атомом при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое
,
где l – длина волны; R – постоянная Ридберга; k и n – номера орбит (натуральные числа).
Частоту можно найти по формуле 
, где с – скорость света в вакууме.
4. Спектр испускания атома водорода имеет линейчатый характер, т. е. состоит из отдельных линий, группирующихся в серии. Число n в формуле Бальмера определяет серию в спектре излучения. Значение n = 1 соответствует ультрафиолетовой серии Лаймана, n = 2 – видимой серии Бальмера, n = 3 – инфракрасной серии Пашена; значения n > 3 также соответствуют сериям, лежащим в инфракрасной области. Число k в формуле Бальмера (k > n) – определяет конкретную линию в данной серии. Переходы, соответствующие разным сериям, изображены на энергетической диаграмме на рис.
 |
Пример.
Переходя из одного возбужденного состояния в другое, атом водорода испустил фотон с длиной волны 102,5 нм. С какой орбиты на какую перешел электрон в атоме?
Решение
Т.к. заданная длина волны λ = 102,5 нм лежит в ультрафиолетовой области, то, следовательно, данный переход принадлежит серии Лаймана, для которой число n = 1, что соответствует переходу электрона на основной уровень.
Для определения номера энергетического уровня, с которого перешел электрон, воспользуемся формулой Бальмера. Положив в ней n = 1, найдем число k:
;
;
поскольку k – целое число, принимаем k = 3.