Суммы характеров. Соотношение ортогональности

 

Пусть G – конечная мультипликативная абелева группа порядка h. Рассмотрим сумму:

 

S = ,

 

где А пробегает все элементы G, и сумму

Т =

 

где c пробегает все элементы группы характеров Ĝ.

Рассмотрим чему равна каждая из сумм.

а) Если В-фиксированный элемент группы G и А пробегает все элементы G, то АВ также пробегает все элементы группы G. Следовательно,

 

S·c (В) = c (В) = = = S.

 

Получили Sc (В) = S, откуда следует, что (c (В) – 1)·S = 0. Следовательно, возможны два варианта:

1) S = 0, то c (В) – негативный характер

2) S≠0, то c (В) = 1 для каждого элемента В?G и в этом случае c (В)= c₁(В) есть главный характер и сумма S равна порядку h группы G. Таким образом,

 

S = = { (1.2)

 

б) Если мы умножим сумму Т на некоторый характер c’ группы Ĝ, то аналогичным образом получим

 

c’ (А) Т = c’ (А) = = Т,

 

Следовательно,

1) или Т = 0, то А ≠Е

2) или Т ≠ 0, то c’ (А) = 1 для каждого характера c’? G. В этом случае согласно свойству 3§ 1, имеем А=Е. И тогда Т=h. Таким образом,

Т = = {

Характеры Дирихле

 

Пусть m – положительное целое число. Определим числовые характеры по модулю m. Мы знаем, что j(m) приведенных классов вычетов по модулю m образуют мультипликативную абелеву группу порядка h=j(m). Мы можем, следовательно, рассмотреть характер этой группы. Но определение характера для приведенных классов вычета по модулю m можно перенести на множество целых чисел следующим образом. Положим

 

c(а)= c(А), если аÎА,

 

где А – приведенный класс вычетов по модулю m. Тогда очевидно, c(а)= c(b) (mod m), и c(ab)= c(а) c(b), если (а, m)=(b, m)=1. Поскольку c(А)¹0 для каждого приведенного класса вычетов А, то c(а)¹0, если (a, m)=1.

Это определение применимо только к целым числам а, которые взаимно просты с m.

Мы можем рассмотреть его на все целые числа, положив

c(а)=0, если (a, m)>1.

Следовательно, характер по модулю m есть арифметическая функция c, обладающая следующими свойствами:

c(а)= c(b), если с=b (mod m)

c(ab)= c(a) c(b) для всех целых a и b

 

c(а)=0, если (a, m)>1

c(а)¹0, если (a, m)=1

Имеется точно j(m) – количество характеров по модулю m, где j(m) – количество положительных целых чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m. Они образуют мультипликативную абелеву группу приведенных классов вычета по mod m. Единичным элементом этой группы будет главный характер c_1, то есть такой характер, что c₁(а)=1, если (а, m)=1. Далее имеем следующее соотношение ортогональности:

 

= {

 

= {

Пусть m – положительное целое число. Определим числовые характеры по модулю m. Комплекснозначная функция, определенная для всех целых чисел n, называется числовым характером или характером Дирихле по модулю m, она удовлетворяет следующим условиям:

а) c (n) = 0 тогда и только тогда, когда (n, m) ≠ 1

б) c (n) периодична с периодом m

в) для любых чисел а и b

c (аb) = c (а) c (b)

Функция

 

c₁(n) = {

 

является числовым характером и называется главным характером. Остальные числовые характеры по модулю m называются неглавными.

Имеет место следующее утверждение о числовых характерах.

Теорема 1 Существует равно φ(m) числовых характеров по модулю m. Если c = c (n) – числовой характер по модулю m, то:

1) для n, взаимно простых с модулем m, значения c (n) есть корень из 1 степени φ(m).

2) для всех n выполняется неравенство /c (n)/ ≤1

3) Имеет место равенство

 

{

 

4) Для каждого целого числа n

 

= {

 

Доказательство. Пусть c (n) – некоторый числовой характер по модулю m. Из пункта б) определения следует, что c (n) задает некоторую функцию c’() = c (n) на мультипликативной группе классов вычетов по модулю m, взаимно простых с m, а именно

 

c’() = c (n)

 

Здесь обозначает класс вычетов по модулю m, содержащий n. Так как c(1) ≠ 0, то c’() не равняется тождественно нулю, а из пункта в) определения числового характера следует, что c’( ) = c’() = c’ (ab) = c (a) c (b) = c’()c’().

Таким образом, c’() есть характер модультипликативной группы G_m.

Обратно, по каждому характеру c’() группы G_m можно построить числовой характер c (n) по модулю m, положив

 

{

 

Установленное соответствие является взаимнооднозначным. И все утверждения теоремы 1 следуют из доказанного выше для групповых характеров применительно к группе G_m, если учесть, что порядок группы G_m равен φ(m), где φ(m) – функция Эйлера.

В дальнейшем требуется еще одно утверждение с числовых характерах. Обозначим для каждого c, c ≥ 1

 

 

Где суммирование ведется по всем натуральным числам n, не превосходящим c.

Лемма 2. Пусть c (n) – неглавный характер. Тогда для каждого c, c ≥ 1 справедливо неравенство

/S(x)/<m

Доказательство. Функция c (n) периодична с периодом m и по теореме з

 

0, так как c≠ c₁

 

Поэтому, представив [c] – целую часть числа c – в виде [c]=m1+z, 0£z£m, будет иметь

S(c) =S([c])=q

В виду равенства /c(n)/£1 отсюда получили S(c)£z£m

 

 

L-функция Дирихле

 

Пусть х(п) – произвольный характер по модулю m. Рассмотрим ряд

 

, (2.1)

 

члены которого являются функциями комплексного переменного S. В области сходимости он определяет функцию, которая называется L-функцией Дирихле, соответствующей характеру c(n), и обозначается L (s, c).

Лемма 3

1. Если c¹c₁, то ряд (1) сходится в области ReS > 0 и определяемая им функция L (s, c) является аналитической в этой области.

2. Ряд, определяющий L (S, c₁), сходится в области ReS >1. Функция L (S, c₁) является аналитической в области ReS > 1.

Доказательство.

Пусть c(n) – произвольный характер по модулю m, а б – некоторое положительное число. Так как /c(n)/ £ 1, то в области ReS > 1 + б справедливо неравенство

 

 

Следовательно, ряд (1) равномерно сходится в области ReS > 1 + б. Определяемая им функция L (S, c) по теореме Вейерштрасса о сумме равномерно сходящегося ряда аналитических функций является аналитической в этой области. Ввиду произвольности 6 это доказывает второе утверждение Леммы.

Для неглавных характеров c(n) потребуется более сложное исследование ряда (1).

Лемма 4 (преобразование Абеля).

Пусть a_n, n=1,2,…, – последовательность комплексных чисел, c>1,

 

А(c)=

 

а q(t) – комплекснозначная функция, непрерывно дифференцируемая на множестве 1£t£¥

Тогда

 

(2.2)

 

Если же

 

то

(2.3)

 

при условии, что ряд в левой части равенства сходится.

Доказательство. Положим А(0)=0 и В(х) равным левой части равенства (2.2). Тогда при любом натуральном N

 

так как А(0)=0. Далее

 

поскольку функция А(х) постоянна на каждом полуинтервале n£t<n+1. Следовательно, равенство (2.2) доказано при целых значениях х.

пусть х³1 – произвольное число. Положим N=[x]; значит, N£x£N+1. Тогда А(х)=А(N), B(x)=B(N), а

 

 

Следовательно,

 

Тем самым доказано, что равенство (2.2) верно и для нецелых чисел значений х.

Равенство (2.3) получаем из равенства (2.2) переходом к пределу при х®¥. Лемма доказана.

Воспользовавшись леммой 4, получим следующее равенство

 

(2.4)

 

где

 

 

функция, введенная Лемме 4.

Для s = p+it из области ReS = s, где s – некоторое положительное число, пользуясь леммой 4, находим

 

Поэтому интеграл

 

 

сходится в области ReS > s. Поскольку в этой области выполняется неравенство

 

 

то из равенства (2) следует, что ряд (1), определяющий функцию L (S, x), сходится в области ReS > s. Эти рассуждения справедливы для любого положительного числа s. Значит, ряд (1) сходится в полуплоскости ReS > 0.

Из равенства (2) следует, что в этой полуплоскости для L-функции, соответствующей неглавному характеру c(n), справедливо представление

 

(2.5)

так как

 

 

Интеграл, стоящий в правой части равенства (2.5), можно также представить в виде

(2.6)

 

Члены ряда (2.6) являются аналитическими функциями в области ReS >s, что следует из равенств

 

 

При этом использовано, что на полуинтервале n£х< n+1 функция S(х) принимает значение S(n). Поскольку

 

 

то ряд (2.6) равномерно сходится в области ReS >s. Отсюда, как и выше, получаем, что сумма его, т.е.

 

 

является аналитической функцией (по теореме Вейерштраса) в области ReS >s.

Из представления (2.5) следует теперь, что L (S, x) есть аналитическая функция в полуплоскости ReS >s, а ввиду произвольности S – s и b полуплоскости ReS > 0.

Следствие. Пусть c (n) – произвольный характер. Тогда в области ReS > 1 справедливо равенство

(2.7)

 

Это следует из того, что ряд (2.1) по доказанному равномерию сходится в области ReS>1+s, где s>0. Следовательно, по теореме Вейштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций в этой области ряд (2.1) можно почленно дифференцировать

 

 

Поэтому в полуплоскости ReS>1+s выполняется равенство (2.7). Так как в этом рассуждении s-любое положительное число, то равенство (2.7) будет справедливо в полуплоскости ReS>1.

Для L-функций имеет место представление в виде бесконечного произведения по простым числам, аналогичное тождеству Эйлера. Рассмотрим вспомогательную Лемму.

Лемма 5. Пусть функция f(n) вполне мультипликативна и ряд

 

(2.8)

 

абсолютно сходится. Тогда выполняется равенство

 

(2.9)

 

Доказательство. Отметим прежде всего, что /f(n)/<1 при любом натуральном n>1. В противном случае при каждом mÎN

/f(n)^m/=/f(n)/^m³1,

 

что противоречит сходимости ряда (2.6). Поэтому при каждом простом р ряд

 

 

абсолютно сходится, и его сумма как сумма бесконечно убивающей геометрической прогрессии равна (1-f(р))^-1. Кроме этого, в силу абсолютной сходимости, ряды можно перемножить. Перемножая конечное число таких рядов и используя то, что f(n) есть вполне мультипликативная функция, получим

 

 

где n_e = p^a … p^as и в сумме в правой части равенства содержатся такие и только такие слагаемые f(n_e), что все просты делители n_e не превосходят х. Следовательно, в разности

 

 

остаются те и только те слагаемые f(m_e), для которых у числа m_e имеется хотя бы один простой делитель р>x. Тогда оценим разность

 

/S-S(x)/£

 

и из абсолютной сходимости ряда (2.8) следует, что

 

Это доказывает, что бесконечное произведение (2.7) сходится и выполняется утверждение Леммы.

Лемма 6. Для каждого характера c(n) в области ReS > 1 справедливо представление

 

 

Доказательство. Эта лемма является следствием Леммы 5, поскольку функция c(n) вполне мультипликативна, то есть c(АВ)= c(А) c(В), и выполняется неравенство /c(n)/£ 1 по теореме 1.

Следствие 1. В области ReS > 1 для главного характера c₁(n) по модулю m справедливо равенство

 

(2.10)

 

и поэтому функция L (S, c₁) может быть аналитически продолжена в область ReS > 0, где она имеет единственный полюс (первого порядка) в точке S=1.

Действительно, по определению главного характера c₁(n) имеет место равенство

 

 

Поэтому

 

Пользуясь теперь тождеством Эйлера для дзета-функции Римана получаем равенство (2.10). Остальные утверждения легко следуют из этого равенства, поскольку дзета-функция является аналитической в области ReS > 0 с единственным полюсом первого порядка в точке S = 1.

Следствие 2. Для каждого характера c функция L (S, x) не обращается в нуль в области ReS > 1.

Доказательство.

Если s = ReS > 1. то

 

 

Пользуясь неравенством для дзета-функции Римана, находим

 

 

Получаем:

 

L (S,c) ≥ > 0

 

Теперь докажем утверждения, что L – функция, соответствующая неглавному характеру c, точке S =1 отлична от нуля.

Теорема 2. Если c – неглавный характер, то L (1, c)≠0

Для доказательства рассмотрим 2 случая

1. Пусть характер c – комплексное число, не является действительным. Тогда характер c²(n) не является главным. В этом случае доказательство теоремы будет основываться на тех же идеях, что и доказательство отсутствия нулей дзета – функции на прямой ReS=1.

Лемма7. Пусть 0< ч< 1, а х – действительное число, тогда выполняется неравенство /(1 – ч)³ (1 – че^ix)⁴ (1 – че^2ix)/^-1 ≥ 1

Доказательство.

Для всех z из круга /z/<1 имеет место расположение

 

– ln (1 – z) = (2.11)

 

Так как ln(t) = Re lnt, то обозначая М (ч φ), левую часть неравенства (2.11), получим

 

lnM (ч φ) = 3ln (1 – ч) – 4 ln (1 – чеⁱ⁴) – ln (1 – че²ⁱ⁴) = – 3ln (1- ч) – 4Reln/1 – чеⁱ⁴ / – Reln/1 – че²ⁱ⁴ /= rc (3+4e)^inl /1-reⁱ⁴/= (3+4cosnl+2cos2nl)= (2+4cosa+1+cos2a)= 1 (1+cosa)²³0

 

ln=M (r, l)=³0

 

Следовательно, M (r, l)=³1 доказана.

Из леммы 7 следует, сто при любом действительном S>1 выполняется равенство:

|L³(8, c ₁) L⁴(S, c ) 4 (S, c ⁴) 1 = П (1- )³(1- )⁴(1- )|^-1 (2.12)

 

Получая в лемме ч = р ^-s, т.е.

0< ч = c ₁(р) <1

0< р ^-s <1

c (р) р^-s = чеⁱ⁴, в силу того что c (р) – комплексное

c (р) р^-s = че²ⁱ⁴

 

Получаем, что каждый сомножитель в правой части равенства (f) не меньше 1 и, следовательно, при любом S>1 выполняется равенство:

|L³(Sc₁) · L⁴(Sc) L (Sc²)| ≥ 1 (2.13)

Допустим, что для некоторого характера c (c²≠c₁) выполняется равенство

 

L (1, c) = 0 (2.14)

 

Оценим сверху левую часть неравенства. Из оценки дзета-функции Римана

ξ(S) ≤ , следует, что при S? R, S>1 выполняется неравенство

 

а) 0 < 4 (S, c₁) =

 

получили 0<L (S, c₁)≤

б) Функция L (S, c) разложим в ряд Тейлора

L (S, c) = C_p + C₁ (S – 1) + C₂(S – 1)² +… + C_n(S – 1)ⁿ +…

Предположим, что у нее есть нуль L (1, c) = 1; тогда С₀ = 0

Перепишем разложение L – функции в ряд

 

L(S^c) = C_к (S – 1)^к + С_к+1(S – 1)^к+1 = (S – 1)¹ (C_к + С_к+1(S -1) +….), где к≥1, С_к ≤ 0, т. к. S>1

| L (S, c)| = |S – 1|^k| C_k + C_k+1(S – 1) +….| ≤ 2 C_k|S – 1)^k, при |S – | < r

 

Функция L (S, c²) в точке S = 1 не имеет полюса, следовательно не имеет особенности. Это в силу того, что c комплексное и c²≠c₁

Получаем неравенство:

L (S, c²) ≤ C,

При условии | S – 1|< δ

Учитывая все неравенства и оценки

 

| L³ (S, c) L⁴(S, c) L (S, c²)| = ()³ · 2⁴ |C_k|⁴ (S – 1)^4k· C≥1

 

Следовательно, это неравенство становится противоречивым, если перейти к пределу при S→1+0. Полученное противоречие показывает, что равенство (2.14) не выполняется.

2. Рассмотрим c – вещественный характер, т.е. принимающий только вещественные значения, несовпадающий с главным характером

Лемма 8. Пусть c – вещественный характер.

Рассмотрим функцию

 

F(S) = ξ(S) L (S, x) (2.15)

 

Докажем, что если Re S>1, то

 

(2.16)

 

представляется рядом Дирихле, которого справедливы следующие утверждения:

1) Все коэффициенты а_n ≥ 0

2) при n=k², k? / N(N)/ а_n ≥1

3) В области ReS<1 можно почленно дифференцировать, то есть

 

F ^(k) (S)= (-1)^k(ln n)^k k=1,2…; (2.17)

 

4) Ряд (1) в точке S=1/2 расходится.

Доказательство. В области ReS > 1 ряды, определяющие функции S(S) и L (S,c), абсолютно сходятся, поэтому их можно перемножить:

 

где

 

(2.19)

 

Пусть - расположение числа n в произведение простых сомножителей. Тогда все натуральные делители l числа n имеют вид

 

 

поэтому из равенства (14) находим, что

 

 

где a_{ni =} 1+ c (p_i)+ … +c^Li (p_i), i=1,…, m (2.21)

так как c – вещественный характер, то он может принимать только три значения: 0, 1, -1. Из равенства (2.21) следует, что

(2.22)

 

Во всех случаях числа a_ni³0, а значит, и a_n=a_n1 … a_nm³0

Если же число п является полным квадратом, то

N=k²=p_/^2g … p_m ^2g,

и из равенств (2.20) и (2.22) следует, что а_n ³1

При любом s > 0 в области ReS> 1 +s выполняется неравенство

 

 

Ряд (2.18) сходится в области ReS > 1. Поэтому по признаку Вейерштрасса ряд (2.16) сходится равномерно в области ReS > 1 + s, а по теореме Вейерштрасса его можно в этой области почленно дифференцировать любое число раз. Следовательно, в области ReS > 1 +s выполняется равенство (2. 17), а в силу произвольности s оно выполняется и в области ReS > 1.

Однако ряд (39) расходится, так как по второму утверждению леммы

Ряд (2.16) при S = имеет неотрицательные члены. Поэтому, если бы он сходился, то также сходился бы ряд

 

(2.23)

 

Следовательно, ряд (2.23) расходится. Лемма доказана.

Переходим непоредственно к доказательству второго случая теоремы. Допустим, что L (1,c) = 0. Тогда полюс дзета-функции будет компенсироваться в произведении S(S) L (S, c) нулем функции L (S, c).

Поэтому функция (2.15) F(S) будет аналитической в области ReS > 0 так как в точке S=1 у F(z) – устраненная особая точка. Следовательно, ее можно разложить в ряд Тейлора в точке S = 2:

 

(2. 24)

 

радиус сходимости которого не меньше 2 R³2/

Из равенств (2.17), в частности S=2, находим

 

(2.25)

 

В радиусе сходимости будет брать не все S, а только вещественные ReS=s S=sÎ(0,2). Пользуясь разложениями (18) и (19), находим

 

 

Члены двойного ряда неотрицательны, поэтому он сходится абсолютно, и в нем можно поменять порядок суммирования. Тогда

 

 

Следовательно, ряд (2.16) сходится во всех точках, s < (, 0, 2), и в точке , а это противоречит четвертому утверждению леммы. Поэтому L (S,c)¹0/

Этим завершается доказательство теоремы

По следствию 2 леммы 2 функция является аналитической в области ReS > 1. Для дальнейшего доказательства теоремы Дирихле нам будет необходимо представление этой функции в виде ряда, аналогичного ряда (2.16).

Лемма. Для каждого характера c(n) в области ReS > 1 справедливо равенство

 

(2.26)

 

 

Доказательство.

Так как S=s+it имеет место неравенство

получаем, что ряд стоящий в правой части равенства (2.26), абсолютно сходится в области s>1. Умножим этот ряд на ряд определяющий L (S, c). Получили

 

 

Предпоследнее равенство имеет место ввиду равенства ), а последнее – по следствию из леммы 3, равенство 2.7.