Таблица 1. Наиболее важные системы счисления.
| Основание | Название | Алфавит |
| p= 2 | двоичная | 0 1 |
| p = 8 | восьмеричная | 0 1 2 3 4 5 6 7 |
| p = 16 | шестнадцатеричная | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F |
1.2 Перевод чисел из одной системы счисления в другую.1
Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.
Пример.
а) Перевести 10101101.1012 
"10" с.с.
10101101.1012 = 1 
27+ 0 26+ 1 25+ 0 24+ 1 23+ 1 22+ 0 21+ 1 20+ 1 2-1+ 0 2-2+ 1 2-3 = 173.62510
б) Перевести 703.048 "10" с.с.
703.048 = 7 82+ 0 81+ 3 80+ 0 8-1+ 4 8-2 = 451.062510
в) Перевести B2E.416 "10" с.с.
B2E.416 = 11 162+ 2 161+ 14 160+ 4 16-1 = 2862.2510
Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.
Пример.
а) Перевести 18110 "8" с.с.
Результат: 18110 = 2658
б) Перевести 62210 "16" с.с.
Результат: 62210 = 26E16
Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную.
Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.
Пример.
Перевести 0.312510 "8" с.с.
Результат: 0.312510 = 0.248
Замечание. Конечной десятичной дроби в другой системе счисления может соответствовать бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности.
|
|
Пример.
Перевести 0.6510 "2" с.с. Точность 6 знаков.
Результат: 0.6510 
0.10(1001)2
Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.
Пример.
Перевести 23.12510 "2" с.с.
| 1) Переведем целую часть: | 2) Переведем дробную часть: |
| 
|
Таким образом: 2310 = 101112; 0.12510 = 0.0012.
Результат: 23.12510 = 10111.0012.
Необходимо отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби - дробями в любой системе счисления.
Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) (Таб. 1) или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) (Таб. 1), при этом отбрасывают ненужные нули в старших и младших разрядах.
Пример.
а) Перевести 305.48 "2" с.с.
б) Перевести 7B2.E16 "2" с.с.
Таблица 1.
| Восьмеричная (Основание 8) | Шестнадцатиричная (Основание 16) | ||
| триады | тетрады | ||
| 0 1 2 3 4 5 6 7 | 000 001 010 011 100 101 110 111 | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F | 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 |
Для перехода от двоичной к восьмеричной (шестнадцатеричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.
Пример.
|
|
а) Перевести 1101111001.11012 "8" с.с.
б) Перевести 11111111011.1001112 "16" с.с.
Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.
Пример. Перевести 175.248 "16" с.с.
Результат: 175.248 = 7D.516.
Упражнения для самостоятельного выполнения
1. Перевести следующие числа в десятичную систему счисления:
a. 1101112;
b. 563.448;
c. 1C4.A16;.
2. Перевести следующие числа из "10" с.с в "2", "8", "16" с.с.:
a. 463;
b. 1209
3. Перевести следующие числа из "10" с.с в "2", "8", "16" с.с. (точность вычислений - 5 знаков после точки):
a. 0.25;
b. 0.345.
4. 4. Перевести следующие числа в двоичную систему счисления:
a. 1725.3268;
b. 7BF.52A16.
5. 5. Перевести следующие числа из одной системы счисления в другую:
a. 11011001.010112 "8" с.с.;
b. 1101111101.01011012 "16" с.с.;
Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения.
| Таблица двоичного сложения | Таблица двоичного вычитания | Таблица двоичного умножения |
| 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10 | 0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1 | 0  0=0 0 1=0 1 0=0 1 1=1
|
При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и переноса из соседнего младшего разряда, если он имеется. При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий.
Пример. Выполнить сложение двоичных чисел:
X=1101, Y=101;
Результат 1101+101=10010.
При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда. Эта занимаемая 1 равна двум 1 данного разряда.
|
|
Пример. Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X-Y.
Результат 10010 - 101=1101.
Умножение двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных с помощью таблиц двоичного умножения и сложения.
Пример. 1001 101=?
Результат 1001 101=101101.
Восьмеричная арифметика
Таблица сложения для 8-ричной СС.
При сложении в 8-ой СС можно использовать технологию, позволяющую складывать без таблицы.
Пример 1. 5(8)+7(8) получаем 12, отнимаем 8 (т.е. основание) для переноса 1 в старший разряд, в текущем разряде получаем 4. Таким образом, получаем 5(8)+7(8) =14(8)
Можно считать с любой другой СС, учитывая, что основание СС – это 10 в данной СС.
Пример 2. В какой системе счисления верно равенство 15+25 = 44. Рассуждаем: При сложении 5+5 получаем 10, а у нас написано 4, следовательно, от 10-6, значит, считали в 6-ой СС. В этом предположении проверяем весь пример. 15(6) + 25(6)=44(6)