Обучение основным методам интегрирования.

В Maple имеется пакет student, предназначенный для обучения математике. Он содержит набор подпрограмм, предназначенных для выполнения расчетов шаг за шагом, так, чтобы была понятна последовательность действий, приводящих к результату. К таким командам относятся интегрирование по частям inparts и замена переменной changevar.

Формула интегрирования по частям:

Если обозначить подынтегральную функцию f=u (x) v’ (x), то параметры команды интегрирования по частям такие: intparts(Int(f, x), u), где u – именно та функция u(x), производную от которой предстоит вычислить по формуле интегрирования по частям.Если в интеграле требуется сделать замену переменных x=g (t) или t=h (x), то параметры команды замены переменных такие: changevar(h(x)=t, Int(f, x), t), где t - новая переменная.

Обе команды intparts и changevar не вычисляют окончательно интеграл, а лишь производят промежуточную выкладку. Для того, чтобы получить окончательный ответ, следует, после выполнения этих команд ввести команду value(%); где % - обозначают предыдущую строку.

Не забудьте, перед использованием описанных здесь команд обязательно загрузить пакет student командой with(student).

Задание 1.

1. Найти неопределенные интегралы: а) ;

б) .

> Int(cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x),x)=

int(cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x), x);

> Int((3*x^4+4)/(x^2*(x^2+1)^3),x)=

int((3*x^4+4)/(x^2*(x^2+1)^3),x);

2. Найти определенный интеграл , при условии a >0, b >0.

> assume (a>0); assume (b>0);

> Int(sin(x)*cos(x)/(a^2*cos(x)^2+b^2*sin(x)^2),

x=0..Pi/2)=int(sin(x)*cos(x)/(a^2*cos(x)^2+b^2*

sin(x)^2),x=0..Pi/2);

3. Найти несобственный интеграл , при a >-1

> restart; assume(a>-1);

> Int((1-exp(-a*x^2))/(x*exp(x^2)),

x=0..+infinity)=int((1-exp(-a*x^2))/(x*exp(x^2)),

x=0..+infinity);

4. Численно найти интеграл

> Int(cos(x)/x, x=Pi/6..Pi/4)=evalf(int(cos(x)/x,

x=Pi/6..Pi/4), 15);

5. Полностью проделать все этапы вычисления интеграла по частям.

> restart; with(student): J=Int(x^3*sin(x),x);

> J=intparts(Int(x^3*sin(x),x),x^3);

> intparts(%,x^2);

> intparts(%,x);

> value(%);

6. Вычислить интеграл с помощью универсальной подстановки .

> J=Int(1/(1+cos(x)), x=-Pi/2..Pi/2);

> J=changevar(tan(x/2)=t,Int(1/(1+cos(x)),

x=-Pi/2..Pi/2), t);

> value(%);

J =2

§2 Интегральное исчисление функций многих переменных

В Maple имеются две специальные команды для вычисления двойных и тройных интегралов, содержащиеся в библиотеке student.

Для вычисления двойных интегралов используется команда Doubleint(f(x, y), D), где D – область интегрирования, записываемая в одном из следующих форматов:

§ x=х1..х2, y=y1..y2, где числа х1, х2, y1, y2 задают прямоугольную область интегрирования;

§ x=f1(y)..f2(y), y=y1..y2, где f1(y), f2(y) - линии, ограничивающие область интегрирования слева и справа на интервале от y1 до y2;

§ x=х1..х2, y=g1(x)..g2(x), где g1(y), g2(y) - линии, ограничивающие область интегрирования снизу и сверху на интервале от х1 до х2.

Для вычисления тройных интегралов используется команда Tripleint(f(x, y, z),x, y, z, V), где V – область интегрирования.

Обе эти команды являются командами отложенного действия. Чтобы получить значение интеграла, следует использовать команду value(%).

Повторные интегралы можно вычислять с помощью повторения команды int, например, повторный интеграл вычисляется командой

> int(int(x^2*y^3, x=0..1), y=0..2);

Задание 2.

1. Вычислить повторный интеграл

> Int(Int(y^3/(x^2+y^2),x=0..y),y=2..4)=

int(int(y^3/(x^2+y^2), x=0..y),y=2..4);

2. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями .

Замечание: сначала следует описать область интегрирования D в виде неравенств:

> restart: with(student):

> J:=Doubleint(sin(x+2*y), x=y..Pi/2-y, y=0..Pi/2);

> J:=value(%);

3. Вычислить тройной интеграл .

Замечание: следует помнить, что порядок интегрирования определяется последовательностью пределов, поэтому сначала указываются пределы, содержащие функции.

> J:=Tripleint(4+z, y=x^2..1,x=-1..1, z=0..2);

> J:=value(%);

Контрольные задания.

При выполнении контрольных заданий студенту необходимо подставить вместо буквенных параметров индивидуальные анкетные характеристики:

- число букв в фамилии студента,

- число букв в полном имени студента,

- число букв в отчестве студента.

В отчете на титульном листе необходимо обязательно указать, какие анкетные данные использовались при выполнении контрольных заданий (имя, отчество, фамилия).

Задания.

1. Вычислить неопределенные интегралы

а) . б) в)