Теория метода и описание установки

Изучение затухающих колебаний физического маятника

Методические указания к лабораторной работе №5 по дисциплине

«Общая физика.

Механика. Молекулярная физика и термодинамика»

для студентов специальностей 150106, 150105, 150201, 150404, 2005030.

Магнитогорск

Составитель: Мигранова С.Г.

Методические указания к лабораторной работе №5 по дисциплине «Общая физика. Механика. Молекулярная физика и термодинамика» для студентов специальностей 150106, 150105, 150201, 150404, 2005030. Магнитогорск: МГТУ, 2012.

Рецензент: Дубосарская Ю.М.

Лабораторная работа № 5

Изучение затухающих колебаний физического маятника

Цель работы: изучение затухающих колебаний, определение основных характеристик затухающих колебаний.

Приборы и принадлежности: физический маятник, постоянный магнит, секундомер, весы.

Краткая теория

Затухающие колебания. Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленной потерей энергии колебательной системой. Затухание колебаний в механических системах вызывается в основном трением, сопротивлением среды и возбуждением в ней волн.

Найдем дифференциальное уравнение, описывающее свободные затухающие колебания физического маятника. Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называют физическим. Движение маятника описывается уравнением динамики вращательного движения , где - результирующий момент сил, действующих на систему, - момент инерции системы, - угловое ускорение: . На физический маятник действует момент силы тяжести и момент сил сопротивления, при малых отклонениях пропорциональный угловой скорости .

При малых колебаниях , тогда

(1) - дифференциальное уравнение затухающих колебаний физического маятника.

Введем обозначения физических характеристик:

- циклическая частота свободных незатухающих колебаний маятника,

- циклическая частота затухающих колебаний, - период затухающих колебаний.

(2) -уравнение затухающих колебаний, полученное при выполнении условий: отклонения маятника малы, момент сил сопротивления пропорционален скорости, выполняется неравенство .

Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний имеет следующий вид:

, (3)

где (4) - амплитуда затухающих колебаний, (5) - коэффициент затухания.

График зависимости при начальной фазе имеет вид экспоненты, причем, чем меньше коэффициент β, тем амплитуда убывает слабее.

Затухающие колебания - непериодические, т.к. в начальный момент никогда не повторяется. Однако обращается в ноль и достигает max и min через один и тот же промежуток времени .

Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

(6)

Логарифмическим декрементом затухания называется безразмерная величина , равная логарифму отношения амплитуды в момент времени к амплитуде через период:

, (7), где - число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.

Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина , равная , умноженным на отношение энергии в момент времени к разности энергий через период:

Т.к. полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды, т.е. , то

При малых значениях логарифмического декремента затухания ( <<1) и добротность (8)

Теория метода и описание установки

Установка для изучения затухающих колебаний представляет собой физический маятник, который совершает колебания относительно точки подвеса О. Нижней частью маятника является полукруглая алюминиевая пластина. При движении маятника в магнитном поле постоянного магнита в нем индуцируются вихревые токи (токи Фуко), обусловливающие заметное магнитное взаимодействие поля и пластины. Сила этого взаимодействия всегда направлена против перемещения (правило Ленца) и пропорциональна скорости движения пластины. Изменяя расположение магнита относительно пластины, можно изменять силу сопротивления при колебаниях физического маятника.

Если экспериментально найти и , то по формулам (6), (7) и (8) можно вычислить коэффициент затухания , логарифмический декремент затухания , время релаксации и декремент затухания . Зная момент инерции маятника, можно найти коэффициент сопротивления r по формуле (5). Зависимость амплитуды - экспоненциальная (формула (4)) и поэтому лучше строить графики этих зависимостей в логарифмическом масштабе. Если учесть, что , то , где – число

колебаний. График зависимости от будет иметь вид прямой, проходящей через начало координат. На графике легко определяются по точке пересечения с горизонтальной прямой, соответствующей значению . Если график не пресекается с ординатой, равной единице, то можно заменить 1 на 0,5, но тогда полученное значение нужно умножить на 2.