Лабораторная работа
ОБработка результатов прямых и косвенных измерений
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
1. Ознакомиться с простейшими измерительными средствами.
2. Овладеть различными методами измерений, техникой эксперимента.
РЕШАЕМЫЕ ЗАДАЧИ
При выполнении лабораторной работы студенты должны решить следующие задачи:
1. Освоить приемы применения универсальных средств для измерения размеров деталей цилиндрической формы.
2. Ознакомиться с методикой обработки результатов физического эксперимента.
СРЕДСТВА ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ
3.1. Измерительный инструмент – штангенциркуль.
3.2. Деталь цилиндрической формы.
3.3. Методические указания.
3.4. Бланк для оформления отчета.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Изучить общие сведения об измерениях и погрешностях измерения.
Любому материальному объекту присущи определенные свойства, большинство из которых характеризуется численными величинами. Например, для куска медного провода можно определить следующие величины: диаметр, длину, электропроводность, электрическое сопротивление, температурный коэффициент расширения и др.
Для определения численной характеристики какого-либо свойства выбранного объекта необходимо знать, во сколько раз искомая характеристика больше или меньше, чем у другого объекта, принятого за эталон.
Операция сравнения определяемой величины для исследуемого объекта с соответствующей величиной эталона называется измерением. Например, за единицу длины принят метр. При измерении длины некоторого образца устанавливают, сколько метров в нем содержится. Точно так же при измерении массы некоторого тела определяют, во сколько раз измеряемая масса превосходит массу эталонного образца в один килограмм. Разумеется, очень редко сравнивают измеряемые величины с величинами эталонов, хранящихся в государственных метрологических учреждениях. В основном используют различные устройства и приборы, тем или иным способом сверенные с эталонами.
Измерение – нахождение значения физической величины опытным путем с помощью средств измерений. Совокупность правил и приемов использования средств измерений для решения измерительной задачи называют методом измерения.
Классификация видов измерений по различным признакам показана на рис.1.
Рис.1. Классификация измерений
Прямое измерение – измерение, при котором искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных. Измерение длины рулеткой либо штангенциркулем, измерение промежутков времени секундомером и т.п. – все это примеры прямых измерений, когда измеряемая величина отсчитывается непосредственно по шкале прибора.
Косвенное измерение – измерение, при котором искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. К косвенным измерениям относятся, например, определение площади прямоугольника по измеренным двум его сторонам, определение сопротивления участка цепи по силе тока и напряжению и т.п.
Абсолютное измерение – измерение, основанное на прямых измерениях одной или нескольких основных величин или на использовании физических констант. Например, измерение угла угломером, диаметра – штангенциркулем.
Относительное измерение – измерение, при котором искомую величину сравнивают с одноименной величиной, играющей роль единицы или принятой за исходную. Например, измерение диаметров отверстий с помощью индикаторных нутромеров.
Равноточные измерения проводятся в одинаковых условиях, определяющих общую точность измерений (тип, класс прибора, число измерений, внешние условия, квалификация оператора и т.д.). При этом в ряду результатов измерений нельзя отдать предпочтение какому-либо одному или нескольким значениям. Неравноточные измерения не отвечают указанным выше условиям.
Независимо от способа измерений определение той или иной физической величины сопровождается погрешностью, показывающей, насколько искомая величина отличается от ее истинного значения.
В качестве истинного значения измеряемой величины обычно принимают среднее арифметическое измеренных значений:
, (1)
где 
– значения измеряемой величины;
n – число измерений.
Различают следующие виды погрешностей:
Абсолютная погрешность измерения – это разность между результатом измерения х искомой величины и ее истинным значением 
, выраженная в единицах измерения:
. (2)
Абсолютная погрешность указывает два значения измеряемой величины, между которыми заключено ее истинное значение. Например, в результате измерений и последующих вычислений диаметра проволоки получили
2,4 мм; 
0,1 мм.
Это означает, что истинное значение диаметра проволоки находится в интервале между 2,3 и 2,5 мм.
Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины; обычно выражается в процентах:
. (3)
Приведенная погрешность относится не к конкретному значению измеряемой величины, а к ее максимально возможному значению
. (4)
Случайная погрешность – это погрешность, которая в отдельных измерениях может принимать случайные, заранее конкретно неизвестные значения, Обычно известны только числовые характеристики закона распределения случайной погрешности измерения. Можно назвать многочисленные объективные и субъективные причины случайных погрешностей: изменения напряжения в сети при электрических измерениях, неоднородность вещества при определении плотности, изменение условий окружающей среды (температуры, давления), возбужденное состояние производящего измерения и др. Подобные причины приводят к тому, что несколько измерений одной и той же величины дают различные результаты.
Систематическая погрешность обуславливается факторами, действующими одинаково при многократном повторении измерений. Они чаще всего возникают при неисправности измерительных приборов, неточности метода измерения. Например, если стрелка амперметра изогнута или смещен «нуль» прибора, то при измерении таким прибором всегда получается ошибочная величина. Если систематическая погрешность определена, то ее учитывают при отсчете каждого результата и в этом случае называют поправкой.
Грубая погрешность вызывается просчетом оператора, неисправностью средств измерения и т.д. Они приводят к явному искажению результатов, поэтому при обработке их надо исключать.
2. Ознакомиться с правилами округления
2.1. Абсолютную погрешность измерения указывают двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной – если первая есть 3 и более.
Примеры:
8,27 
9 0,0862 0,09
857,3 900 0,237 0,24
0,00036 ≈ 0,0004 43,5 ≈ 44
2.2. Результаты измерения округляют с точностью «до погрешности», т.е. последняя значащая цифра в результате должна находиться в том же разряде, что и в погрешности.
Примеры:
243,871±0,036≈243,87±0,04;
243,871±3,6≈244±4;
1053±47≈1050±50.
2.3. Округление результата измерения достигают простым отбрасыванием цифр, если первая из них меньше 5.
Примеры:
8,337 (округлить до десятых) ≈ 8,3;
833,438 (округлить до целых) ≈ 833;
0,27375 (округлить до сотых) ≈ 0,27.
2.4. Если первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5, (а за ней одна или несколько цифр отличны от нуля), то последняя из остающихся цифр увеличивается на единицу.
Примеры:
8,3351 (округлить дл сотых) ≈ 8,34;
0,2510 (округлить до десятых) ≈ 0,3;
271,515 (округлить до целых) ≈ 272.
2.5. Если отбрасываемая цифра равна 5, а за ней нет значащих цифр (или стоят одни нули), то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу, когда она нечетная, и оставляют неизменной, когда она четная.
Примеры:
0,875 (округлить до сотых) ≈ 0,88;
0,5450 (округлить до сотых) ≈ 0,54;
275,500 (округлить до целых) ≈ 276;
276,500 (округлить до целых) ≈ 276.
Изложенные правила применяются только при округлении окончательных результатов. Все промежуточные результаты целесообразно представлять тем числом разрядов, которые удается получить.
Примечание.
· Значащими называют верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа. Например, 0,00807 – в этом числе имеется три значащих цифры: 8, ноль между 8 и 7 и 7; первые три нуля незначащие. 8,12·103 – в этом числе 3 значащих цифры.
· Записи 15,2 и 15,200 различны. Запись 15,200 означает, что верны сотые и тысячные доли. В записи 15,2 – верны целые и десятые доли.
· Результаты физических экспериментов записывают только значащими цифрами. Запятую ставят сразу после отличной от нуля цифры, а число умножают на десять в соответствующей степени. Нули, стоящие в начале или конце числа, как правило, не записывают. Например, числа 0,00435 и 234000 записывают так: 4,35·10-3 и 2,34·105. Подобная запись упрощает вычисления, особенно в случае формул, удобных для логарифмирования.
3. Изучить методику обработки результатов прямых измерений.
Методику обработки результатов прямых измерений устанавливает ГОСТ 8.207-76.
При прямых измерениях определяемая величина (х) измеряется с помощью измерительного прибора (например: весов, линейки, часов и т.д.). Последовательность обработки результатов прямых измерений сводится к следующему:
*определяют среднее арифметическое значение результатов измерений по формуле (1);
*находят абсолютные погрешности 
отдельных измерений по формуле (2);
*определяют выборочное среднее квадратическое отклонение результата измерений
(5)
и выборочное среднее квадратическое отклонение среднего арифметического
; (6)
*исключают промахи или грубые погрешности и повторяют вычисления;
*проверяют нормальность распределения результатов измерений (как правило, при 
);
*задавая определенные значения доверительной вероятности (Р), находят границы доверительного интервала, т.е. абсолютную погрешность серии измерений
; (7)
где 
- коэффициент Стьюдента, определяют по табл.1 в зависимости от числа произведенных измерений (n) и доверительной погрешности (Р).
Таблица 1
| n | P | ||
| 0,90 | 0,95 | 0,99 | |
| 2,9 | 4,3 | 9,9 | |
| 2,4 | 3,2 | 5,8 | |
| 2,1 | 2,8 | 4,6 | |
| 2,0 | 2,6 | 4,0 | |
| 1,9 | 2,4 | 3,7 |
*cравнивают погрешность 
с аппаратурной погрешностью, и если она превосходит последнюю, то окончательный результат записывают в виде
при вероятности Р =…%.
Если абсолютная погрешность меньше или соизмерима с приборной погрешностью 
, определяемой классом точности прибора, то границы доверительного интервала вычисляют по формуле
, (8)
а окончательный результат записывают в виде:
при вероятности Р =…%;
*определяют относительную погрешность результатов измерений по формуле (3).
4. Изучить методику обработки результатов косвенных измерений.
При косвенных измерениях исследуемая величина у не измеряется непосредственно с помощью прибора, а рассчитывается по известной зависимости
,
где 
– подлежащие прямым измерениям аргументы функции у.
Требуется найти абсолютную и относительную ошибки этой функции, если известны ошибки независимых переменных.
Рассмотрим два крайних случая, когда ошибки являются либо систематическими, либо случайными. Единого мнения относительно вычисления систематической ошибки косвенных измерений не существует. Однако, если исходить из определения систематической ошибки как максимально возможной, то целесообразно находить систематическую ошибку по формулам
(9)
или
, (10)
где 
– частные производные функции по аргументу , найденные в предположении, что все остальные аргументы, кроме того, по которому находится производная, постоянные, вычисляют при 
; 
– систематические ошибки аргументов.
Формулой (9) удобно пользоваться в случае, если функция имеет вид суммы или разности аргументов. Выражение (10) применять целесообразно, если функция имеет вид произведения или частного аргументов.
Для нахождения случайной ошибки косвенных измерений следует использовать формулы:
(11)
или
,(12)
где 
– доверительные интервалы при заданных доверительных вероятностях для аргументов . Следует иметь в виду, что доверительные интервалы 
должны быть взяты при одинаковой доверительной вероятности P 1 = P 2 =... = P n = P. В этом случае доверительная вероятность для доверительного интервала Δ у будет тоже P.
Формулу (11) используют в случае, если функция имеет вид суммы или разности аргументов. Формулу (12) удобно применяют в случае, если функция имеет вид произведения или частного аргументов.
Часто систематическая и случайная ошибки близки друг к другу и обе в одинаковой степени определяют точность результата. В этом случае общую ошибку 
находят как квадратичную сумму случайной Δ и систематической 
ошибок с вероятностью не менее чем P, где P – доверительная вероятность случайной ошибки
. (13)
Прежде чем приступать к измерениям, всегда нужно подумать о последующих расчетах и выписать формулы, по которым будут рассчитываться погрешности. Эти формулы позволят понять, какие измерения следует производить особенно тщательно, а на какие не нужно тратить больших усилий.
При обработке результатов косвенных измерений предлагается следующий порядок операций:
1. Все величины при прямых измерениях обработать в соответствии с правилами обработки результатов прямых измерений. При этом для всех измеряемых величин необходимо задать одно и то же значение доверительной вероятности P.
2. Оценить точность результата косвенных измерений по формулам (9) – (12), где производные вычислить при средних значениях величин. Если ошибка отдельных измерений входит в результат дифференцирования несколько раз, то надо сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал, и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом, взять по модулю.
Если случайная и систематическая ошибки по величине близки друг к другу, то сложить их по правилу сложения ошибок. Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросить.